Генеральная совокупность и выборка образец. Необходимый объем выборки. Зависимые и независимые выборки

Лекция 6. Элементы математической статистики

Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной лекции

1. Дайте определение случайной величины.

2.Напишите формулы для математического ожидания и дисперсии дискретной и непрерывной случайных величин.

3. Дайте определение локальной интегральной предельная теорем Лапласа

4. Напишите формулы, задающие биномиальное распределение, гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона, равномерное распределение и нормальное распределение.

Цель: Изучить основные понятия математической статистики

1. Генеральная совокупность и выборка

2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма.

3. Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке

4. Генеральная и выборочная средние. Методы их расчета.

5. Генеральная и выборочная дисперсии.

6. Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной лекции

Мы приступаем к изучению элементов математической статистики, в которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора статистических данных и их обработки.

1. Генеральная совокупность и выборка. Пусть требуется изучить множество однородных объектов (это множество называется статистической совокупностью) относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным - контролируемый размер детали.

Лучше всего произвести сплошное обследование, т.е. изучить каждый объект. Однако в большинстве случаев по разным причинам это сделать невозможно. Препятствовать сплошному обследованию может большое число объектов, недоступность их. Если, например, нужно знать среднюю глубину воронки при взрыве снаряда из опытной партии, то, производя сплошное обследование, мы уничтожим всю партию.

Если сплошное обследование невозможно, то из всей совокупности выбирают для изучения часть объектов.

Статистическая совокупность, из которой отбирают часть объектов, называется генеральной совокупностью. Множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, называют выборкой.

Число объектов генеральной совокупности и выборки называют соответственно объемом генеральной совокупности и объемом выборки.

Пример 10.1. Плоды одного дерева (200 шт.) обследуют на наличие специфического для данного сорта вкуса. Для этого отбирают 10 шт. Здесь 200 - объем генеральной совокупности, а 10 - объем выборки.

Если выборку отбирают по одному объекту, который обследуют и снова возвращают в генеральную совокупность, то выборка называется повторной. Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной.

На практике чаще используется бесповторная выборка. Если объем выборки составляет небольшую долю объема генеральной совокупности, то разница между повторной и бесповторной выборками незначительна.

Свойства объектов выборки должны правильно отражать свойства объектов генеральной совокупности, или, как говорят, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Считается, что выборка репрезентативна, если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку, т. е. выбор производится случайно. Например, для того чтобы оценить будущий урожай, можно сделать выборку из генеральной совокупности еще не созревших плодов и исследовать их характеристики (массу, качество и пр.). Если вся выборка будет сделана с одного дерева, то она не будет репрезентативной. Репрезентативная выборка должна состоять из случайно выбранных плодов со случайно выбранных деревьев.

2. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х 1 наблюдалось n 1 , раз, х 2 - п 2 раз, ..., х k - n k раз и n 1 +n 2 +…+ п k = п - объем выборки. Наблюдаемые значения x 1 , x 2 , …, x k называют вариантами, а последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа наблюдений n 1 , n 2 , …, n k называют частотами, а их отношения к объему выборки , , …, - относительными частотами. Отметим, что сумма относительных частот равна единице: .

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (непрерывное распределение). В качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал. Для графического изображения статистического распределения используют полигоны и гистограммы.

Для построения полигона на оси Ох откладывают значения вариант х i , на оси Оу - значения частот п i (относительных частот ).

Пример 10.2. На рис. 10.1 показан полигон следующего распределения

Полигоном обычно пользуются в случае небольшого числа вариант. В случае большого числа вариант и в случае непрерывного распределения признака чаще строят гистограммы. Для этого интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала п i , - сумму частот вариант, попавших в i -интервал. Затем на этих интервалах, как на основаниях, строят прямоугольники с высотами (или , где п - объем выборки).

Площадь i частичного прямоугольника равна , (или ).

Следовательно, площадь гистограммы равна сумме всех частот (или относительных частот), т.е. объему выборки (или единице).

Пример 10.3. На рис. 10.2 показана гистограмма непрерывного распределения объема n = 100, приведенного в следующей таблице.

Весь массив особей определенной категории называется генеральной совокупностью. Объем генеральной совокупности определяется задачами исследования.

Если изучается какой-нибудь вид диких животных или растений, то генеральной совокупностью будут все особи этого вида. В данном случае объем генеральной совокупности будет очень большой и при расчетах он принимается за бесконечно большую величину.

Если изучается действие какого-нибудь агента на растения и животных определенной категории, то генеральной совокупностью будут все растения и животные той категории (вида, пола, возраста, хозяйственного назначения), к которой относились подопытные объекты. Это уже не очень большое количество особей, но еще недоступное для сплошного изучения.

Не всегда объем генеральной совокупности недоступен для сплошного исследования. Иногда изучаются небольшие совокупности, например, определяется средний удой или средний настриг шерсти у группы животных, закрепленных за определенным работником. В таких случаях генеральной совокупностью будет совсем небольшое количество особей, которые все исследуются. Небольшая генеральная совокупность встречается также при исследовании растений или животных, имеющихся в какой-нибудь коллекции, с целью характеристики определенной группы в данной коллекции.

Характеристики групповых свойств ( и т. д.), относящиеся ко всей генеральной совокупности, называются генеральными параметрами.

Выборка – группа объектов, отличающихся тремя особенностями:

1 это часть генеральной совокупности;

2 отобранная в случайном порядке, определенным образом;

3 исследуемая для характеристики всей генеральной совокупности.

Для того чтобы по выборке можно было получить достаточно точную характеристику всей генеральной совокупности, необходимо организовать правильный отбор объектов из генеральной совокупности.

Теорией и практикой разработано несколько систем отбора особей в выборку. В основу всех этих систем положено стремление обеспечить максимальную возможность выбора любого объекта из генеральной совокупности. Тенденциозность, предвзятость при отборе объектов для выборочного исследования препятствуют получению правильных общих выводов, делают результаты выборочного исследования непоказательными для всей генеральной совокупности, т. е. нерепрезентативными.

Для получения правильной, неискаженной характеристики всей генеральной совокупности необходимо стремиться обеспечить возможность отбора в выборку любого объекта из любой части генеральной совокупности. Это основное требование должно выполняться тем строже, чем более изменчив изучаемый признак. Вполне понятно, что при разнообразии, приближающемся к нулю, например в случае изучения цвета волос или перьев некоторых видов, любой способ отбора выборки даст репрезентативные результаты.

В различных исследованиях применяются следующие способы отбора объектов в выборку.

4 Случайный повторный отбор, при котором объекты изучения отбираются из генеральной совокупности без предварительного учета развития у них изучаемого признака, т. е. в случайном (для данного признака) порядке; после отбора каждый объект изучается и затем возвращается в свою генеральную совокупность, так что любой объект может попасть повторно в выборку. Такой способ отбора равносилен отбору из бесконечно большой генеральной совокупности, для которого разработаны основные показатели взаимоотношений между выборочными и генеральными величинами.

5 Случайный бесповторный отбор, при котором объекты, отобранные, как и при предыдущем способе, случайно, не возвращаются в генеральную совокупность и не могут повторно попасть в выборку. Это наиболее распространенный способ организации выборки; он равносилен отбору из большой, но ограниченной генеральной совокупности, что учитывается при определении генеральных показателей по выборочным.

6 Механический отбор, при котором производится отбор объектов из отдельных частей генеральной совокупности, причем эти части предварительно намечаются механически по квадратам опытного поля, по случайным группам животных, взятых из разных ареалов популяции и т. д. Обычно намечается столько таких частей, сколько предполагается взять объектов для изучения, поэтому число частей бывает равно численности выборки. Механический отбор иногда осуществляется выбором для изучения особей через определенное число, например при пропускании животных через раскол и отборе каждого десятого, сотого и т. д., или при взятии укоса через каждые 100 или 200 м, или отборе одного объекта через каждые встретившиеся 10, 100 и т. д. экземпляров при исследовании всей популяции.

8 Серийный (гнездовой) отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части – серии, некоторые из них исследуются целиком. Применяется этот способ с успехом в тех случаях, когда исследуемые объекты достаточно равномерно распределены в определенном объеме или на определенной территории. Например, при исследовании зараженности воздуха или воды микроорганизмами берут пробы, которые подвергаются сплошному исследованию. В некоторых случаях гнездовым способом могут быть обследованы также сельскохозяйственные объекты. При изучении выходов мяса и других продуктов переработки мясной породы скота в выборку можно взять всех животных этой породы, поступивших на два-три мясокомбината. При изучении величины яйца в колхозном птицеводстве можно в нескольких колхозах провести изучение этого признака у всего поголовья кур.

Характеристики групповых свойств (μ, s и т. д.), полученные для выборки, называются выборочными показателями.

Репрезентативность

Непосредственное изучение группы отобранных объектов дает, прежде всего, первичный материал и характеристику самой выборки.

Все выборочные данные и сводные показатели имеют значение в качестве первичных фактов, вскрытых исследованием и подлежащих тщательному рассмотрению, анализу и сопоставлению с результатами других работ. Но этим не ограничивается процесс извлечения информации, заложенный в первичных материалах исследования.

То обстоятельство, что объекты отбирались в выборку специальными приемами и в достаточном количестве, делает результаты изучения выборки показательными не только для самой выборки, но также и для всей генеральной совокупности, из которой взята эта выборка.

Выборка при определенных условиях становится более или менее точным отражением всей генеральной совокупности. Это свойство выборки называется репрезентативностью, что означает представительность с определенной точностью и надежностью.

Как и всякое свойство, репрезентативность выборочных данных может быть выражена в достаточной или в недостаточной степени. В первом случае в выборке получаются достоверные оценки генеральных параметров, во втором – недостоверные. Важно помнить, что получение недостоверных оценок не умаляет значения выборочных показателей для характеристики самой выборки. Получение же достоверных оценок расширяет область применения достижений, полученных при выборочном исследовании.

Генеральная совокупность (в англ. - population ) - совокупность всех объектов (единиц), относительно которых учёный намерен делать выводы при изучении конкретной проблемы.

Генеральная совокупность состоит из всех объектов, которые подлежат изучению. Состав генеральной совокупности зависит от целей исследования. Иногда генеральная совокупность - это все население определённого региона (например, когда изучается отношение потенциальных избирателей к кандидату), чаще всего задаётся несколько критериев, определяющих объект исследования. Например, мужчины 30-50 лет, использующие бритву определённой марки не реже раза в неделю, и имеющие доход не ниже $100 на одного члена семьи.

Выборка или выборочная совокупность - множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании.

Характеристики выборки:

· Качественная характеристика выборки – кого именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.

· Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.

Необходимость выборки

· Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании – огромное количество территориально разбросанных рынков.

· Существует необходимость в сборе первичной информации.

Объём выборки

Объём выборки - число случаев, включённых в выборочную совокупность. Из статистических соображений рекомендуется, чтобы число случаев составляло не менее 30 – 35.

Зависимые и независимые выборки

При сравнении двух (и более) выборок важным параметром является их зависимость. Если можно установить гомоморфную пару (то есть, когда одному случаю из выборки X соответствует один и только один случай из выборки Y и наоборот) для каждого случая в двух выборках (и это основание взаимосвязи является важным для измеряемого на выборках признака), такие выборки называются зависимыми . Примеры зависимых выборок:

· пары близнецов,

· два измерения какого-либо признака до и после экспериментального воздействия,

· мужья и жёны

· и т. п.

В случае, если такая взаимосвязь между выборками отсутствует, то эти выборки считаются независимыми , например:

· мужчины и женщины,

· психологи и математики.

Соответственно, зависимые выборки всегда имеют одинаковый объём, а объём независимых может отличаться.

Сравнение выборок производится с помощью различных статистических критериев:

· t-критерий Стьюдента

· Критерий Уилкоксона

· U-критерий Манна-Уитни

· Критерий знаков

· и др.

Репрезентативность

Выборка может рассматриваться в качестве репрезентативной или нерепрезентативной.

Пример нерепрезентативной выборки

В США одним из наиболее известных исторических примеров нерепрезентативной выборки считается случай, происшедший во время президентских выборов в 1936 году . Журнал «Литрери Дайджест», успешно прогнозировавший события нескольких предшествующих выборов, ошибся в своих предсказаниях, разослав десять миллионов пробных бюллетеней своим подписчикам, а также людям, выбранным по телефонным книгам всей страны и людям из регистрационных списков автомобилей. В 25 % вернувшихся бюллетеней (почти 2,5 миллиона) голоса были распределены следующим образом:

· 57 % отдавали предпочтение кандидату-республиканцу Альфу Лэндону

· 40 % выбрали действующего в то время президента-демократа Франклина Рузвельта

На действительных же выборах, как известно, победил Рузвельт, набрав более 60 % голосов. Ошибка «Литрери Дайджест» заключалась в следующем: желая увеличить репрезентативность выборки, - так как им было известно, что большинство их подписчиков считают себя республиканцами, - они расширили выборку за счёт людей, выбранных из телефонных книг и регистрационных списков. Однако они не учли современных им реалий и в действительности набрали ещё больше республиканцев: во время Великой депрессии обладать телефонами и автомобилями могли себе позволить в основном представители среднего и высшего класса (то есть большинство республиканцев, а не демократов).

Виды плана построения групп из выборок

Выделяют несколько основных видов плана построения групп :

1. Исследование с экспериментальной и контрольной группами, которые ставятся в разные условия.

2. Исследование с экспериментальной и контрольной группами с привлечением стратегии попарного отбора

3. Исследование с использованием только одной группы - экспериментальной.

4. Исследование с использованием смешанного (факторного) плана - все группы ставятся в разные условия.

Типы выборки

Выборки делятся на два типа:

· вероятностные

· невероятностные

Вероятностные выборки

1. Простая вероятностная выборка:

o Простая повторная выборка. Использование такой выборки основывается на предположении, что каждый респондент с равной долей вероятности может попасть в выборку. На основе списка генеральной совокупности составляются карточки с номерами респондентов. Они помещаются в колоду, перемешиваются и из них наугад вынимается карточка, записывается номер, потом возвращается обратно. Далее процедура повторяется столько раз, какой объём выборки нам необходим. Минус: повторение единиц отбора.

Процедура построения простой случайной выборки включает в себя следующие шаги:

1. необходимо получить полный список членов генеральной совокупности и пронумеровать этот список. Такой список, напомним, называется основой выборки;

2. определить предполагаемый объем выборки, то есть ожидаемое число опрошенных;

3. извлечь из таблицы случайных чисел столько чисел, сколько нам требуется выборочных единиц. Если в выборке должно оказаться 100 человек, из таблицы берут 100 случайных чисел. Эти случайные числа могут генерироваться компьютерной программой.

4. выбрать из списка-основы те наблюдения, номера которых соответствуют выписанным случайным числам

· Простая случайная выборка имеет очевидные преимущества. Этот метод крайне прост для понимания. Результаты исследования можно распространять на изучаемую совокупность. Большинство подходов к получению статистических выводов предусматривают сбор информации с помощью простой случайной выборки. Однако метод простой случайной выборки имеет как минимум четыре существенных ограничения:

1. зачастую сложно создать основу выборочногo наблюдения, которая позволила бы провести простую случайную выборку.

2. результатом применения простой случайной выборки может стать большая совокупность, либо совокупность, распределенная по большой географической территории, что значительно увеличивает время и стоимость сбора данных.

3. результаты применения простой случайной выборки часто характеризуются низкой точностью и большей стандартной ошибкой, чем результаты применения других вероятностных методов.

4. в результате применения SRS может сформироваться нерепрезентативная выборка. Хотя выборки, полученные простым случайным отбором, в среднем адекватно представляют генеральную совокупность, некоторые из них крайне некорректно представляют изучаемую совокупность. Вероятность этого особенно велика при небольшом объеме выборки.

· Простая бесповторная выборка. Процедура построения выборки такая же, только карточки с номерами респондентов не возвращаются обратно в колоду.

1. Систематическая вероятностная выборка. Является упрощенным вариантом простой вероятностной выборки. На основе списка генеральной совокупности через определённый интервал (К) отбираются респонденты. Величина К определяется случайно. Наиболее достоверный результат достигается при однородной генеральной совокупности, иначе возможны совпадение величины шага и каких-то внутренних циклических закономерностей выборки (смешение выборки). Минусы: такие же как и в простой вероятностной выборке.

2. Серийная (гнездовая) выборка. Единицы отбора представляют собой статистические серии (семья, школа, бригада и т. п.). Отобранные элементы подвергаются сплошному обследованию. Отбор статистических единиц может быть организован по типу случайной или систематической выборки. Минус: Возможность большей однородности, чем в генеральной совокупности.

3. Районированная выборка. В случае неоднородной генеральной совокупности, прежде, чем использовать вероятностную выборку с любой техникой отбора, рекомендуется разделить генеральную совокупность на однородные части, такая выборка называется районированной. Группами районирования могут выступать как естественные образования (например, районы города), так и любой признак, заложенный в основу исследования. Признак, на основе которого осуществляется разделение, называется признаком расслоения и районирования.

4. «Удобная» выборка. Процедура «удобной» выборки состоит в установлении контактов с «удобными» единицами выборки - с группой студентов, спортивной командой, с друзьями и соседями. Если необходимо получить информацию о реакции людей на новую концепцию, такая выборка вполне обоснована. «Удобную» выборку часто используют для предварительного тестирования анкет.

Невероятностные выборки

Отбор в такой выборке осуществляется не по принципам случайности, а по субъективным критериям – доступности, типичности, равного представительства и т.д.

1. Квотная выборка – выборка строится как модель, которая воспроизводит структуру генеральной совокупности в виде квот (пропорций) изучаемых признаков. Число элементов выборки с различным сочетанием изучаемых признаков определяется с таким расчётом, чтобы оно соответствовало их доле (пропорции) в генеральной совокупности. Так, например, если генеральная совокупность у нас представлена 5000 человек, из них 2000 женщин и 3000 мужчин, тогда в квотной выборке у нас будут 20 женщин и 30 мужчин, либо 200 женщин и 300 мужчин. Квотированные выборки чаще всего основываются на демографических критериях: пол, возраст, регион, доход, образование и прочих. Минусы: обычно такие выборки нерепрезентативны, т.к. нельзя учесть сразу несколько социальных параметров. Плюсы: легкодоступный материал.

2. Метод снежного кома. Выборка строится следующим образом. У каждого респондента, начиная с первого, просятся контакты его друзей, коллег, знакомых, которые подходили бы под условия отбора и могли бы принять участие в исследовании. Таким образом, за исключением первого шага, выборка формируется с участием самих объектов исследования. Метод часто применяется, когда необходимо найти и опросить труднодоступные группы респондентов (например, респондентов, имеющих высокий доход, респондентов, принадлежащих к одной профессиональной группе, респондентов, имеющих какие-либо схожие хобби/увлечения и т.д.)

3. Стихийная выборка – выборка так называемого «первого встречного». Часто используется в теле- и радиоопросах. Размер и состав стихийных выборок заранее не известен, и определяется только одним параметром – активностью респондентов. Минусы: невозможно установить какую генеральную совокупность представляют опрошенные, и как следствие – невозможность определить репрезентативность.

4. Маршрутный опрос – часто используется, если единицей изучения является семья. На карте населённого пункта, в котором будет производиться опрос, нумеруются все улицы. С помощью таблицы (генератора) случайных чисел отбираются большие числа. Каждое большое число рассматривается как состоящее из 3-х компонентов: номер улицы (2-3 первых числа), номер дома, номер квартиры. Например, число 14832: 14 – это номер улицы на карте, 8 – номер дома, 32 – номер квартиры.

5. Районированная выборка с отбором типичных объектов. Если после районирования из каждой группы отбирается типичный объект, т.е. объект, который по большинству изучаемых в исследовании характеристик приближается к средним показателям, такая выборка называется районированной с отбором типичных объектов.

Стратегии построения групп

Отбор групп для их участия в психологическом эксперименте осуществляется с помощью различных стратегий, которые нужны для того, чтобы обеспечить максимально возможное соблюдение внутренней и внешней валидности .

· Рандомизация (случайный отбор)

· Попарный отбор

· Стратометрический отбор

· Приближённое моделирование

· Привлечение реальных групп

Рандомизация , или случайный отбор , используется для создания простых случайных выборок. Использование такой выборки основывается на предположении, что каждый член популяции с равной вероятностью может попасть в выборку. Например, чтобы сделать случайную выборку из 100 студентов вуза, можно сложить бумажки с именами всех студентов вуза в шляпу, а затем достать из неё 100 бумажек - это будет случайным отбором (Гудвин Дж., с. 147).

Попарный отбор - стратегия построения групп выборки, при котором группы испытуемых составляются из субъектов, эквивалентных по значимым для эксперимента побочным параметрам. Данная стратегия эффективна для экспериментов с использованием экспериментальных и контрольных групп с лучшим вариантом - привлечением близнецовых пар (моно- и дизиготных), так как позволяет создать...

Стратометрический отбор - рандомизация с выделением страт (или кластеров). При данном способе формирования выборки генеральная совокупность делится на группы (страты), обладающие определёнными характеристиками (пол, возраст, политические предпочтения, образование, уровень доходов и др.), и отбираются испытуемые с соответствующими характеристиками.

Приближённое моделирование - составление ограниченных выборок и обобщение выводов об этой выборке на более широкую популяцию. Например, при участии в исследовании студентов 2-го курса университета, данные этого исследования распространяются на «людей в возрасте от 17 до 21 года». Допустимость подобных обобщений крайне ограничена.

Приближенное моделирование – формирование модели, которая для четко оговоренного класса систем (процессов) описывает его поведение (или нужные явления) с приемлемой точностью.

Генеральная совокупность – совокупность элементов, удовлетворяющих неким заданным условиям; именуется также изучаемой совокупностью. Генеральная совокупность (Universe) - все множество объектов (субъектов) исследования, из которого выбираются (могут выбираться) объекты (субъекты) для обследования (опроса).

ВЫБОРКА или выборочная совокупность (Sample) - это множество объектов (субъектов), отобранных специальным образом для обследования (опроса). Любые данные, полученные на основании выборочного обследования (опроса), имеют вероятностный характер. На практике это означает, что в ходе исследования определяется не конкретное значение, а интервал, в котором определяемое значение находится.

Характеристики выборки:

Качественная характеристика выборки – что именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.

Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.

Необходимость выборки:

Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании – огромное количество территориально разбросанных рынков.

Существует необходимость в сборе первичной информации.

Объём выборки - число случаев, включённых в выборочную совокупность.

Зависимые и независимые выборки.

В случае, если такая взаимосвязь между выборками отсутствует, то эти выборки считаются независимыми.

Типы выборки.

Выборки делятся на два типа:

Вероятностные;

Не вероятностные;

Репрезентативная выборка - выборочная совокупность, в которой основные характеристики совпадают с характеристиками генеральной совокупности. Только для этого типа выборки результаты обследования части единиц (объектов) можно распространять на всю генеральную совокупность. Необходимое условие для построения репрезентативной выборки - наличие информации о генеральной совокупности, т.е. либо полный список единиц (субъектов) генеральной совокупности, либо информация о структуре по характеристикам, существенно влияющим на отношение к предмету исследования.

17. Дискретный вариационный ряд, ранжирование, частота, частность.

Вариационным рядом (статистическим рядом) – называется последовательность вариант, записанных в порядке возрастания и соответствующих им весов.

Вариационный ряд может быть дискретным (выборка значений дискретной случайной величины) и непрерывным (интервальным) (выборка значений непрерывной случайной величины).

Дискретный вариационный ряд имеет вид:

Наблюдаемые значения случайной величины х1, х2, …, хk называются вариантами, а изменение этих значений называются варьированием.

Выборка (выборочная совокупность) – совокупность наблюдений, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

Число наблюдений в совокупности называется ее объемом.

N – объем генеральной совокупности.

n – объем выборки(сумма всех частот ряда).

Частотой варианты хi называется число ni (i=1,…,k), показывающее, сколько раз эта варианта встречается в выборке.

Частостью (относительной частотой, долей) варианты хi (i=1,…,k) называется отношение ее частоты ni к объему выборки n.
wi =ni /n

Ранжирование опытных данных - операция, заключающаяся в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, т. е. наблюдаемые значения случайной величины, располагают в порядке неубывания.

Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная совокупность вариантов хi с соответствующими им частотами или частностями.

Это наука, которая, основываясь на методах теории вероятностей, занимается систематизацией и обработкой статистических данных для получения научных и практических выводов.

Статистическими данными называются сведения о числе объектов, обладающих теми или иными признаками.

Группа объектов, объединенных по некоторому качественному или количественному признаку, называется статистической совокупностью . Объекты, входящие в совокупность, называются её элементами, а их общее число - ее объемом.

Генеральной совокупностью называется множество всех мыслимо возможных наблюдений, которые могли бы быть сделаны при данном реальном комплексе условий или более строго: генеральной совокупностью называется случайная величина x и связанное с ней вероятностное пространство {W,Á,Р}.

Распределение случайной величины x называют распределением генеральной совокупности (говорят, например, о нормально распределенной или просто нормальной генеральной совокупности).

Например, если производится ряд независимых измерений случайной величины x, то генеральная совокупность теоретически бесконечна (т.е. генеральная совокупность - абстрактное, условно - математическое понятие); если же проверяется число дефектных изделий в партии из N изделий, то эту партию рассматривают как конечную генеральную совокупность объема N.

В случае социально-экономических исследований генеральной совокупностью объема N может быть население какого-то города, региона или страны, а измеряемыми признаками - доходы, расходы или объем сбережений отдельно взятого человека. Если какой-то признак имеет качественный характер (например, пол, национальность, социальное положение, род деятельности и т.п.), но принадлежит к конечному множеству вариантов, то он может быть также закодирован числом (как это часто делают в анкетах).

Если число объектов N достаточно велико, то провести сплошное обследование затруднительно, а иногда физически невозможно (например, проверить качество всех патронов). Тогда случайным образом отбирают из всей генеральной совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой объема n называется последовательность х 1 , х 2 , …, х n независимых одинаково распределенных случайных величин, распределение каждой из которых совпадает с распределением случайной величины x.

Например, результаты n первых измерений случайной величины x принято рассматривать как выборку объема n из бесконечной генеральной совокупности. Полученные данные называют наблюдениями случайной величины x, а также говорят, что случайная величина x "принимает значения" х 1 , х 2 , …, х n .

Основная задача математической статистики - сделать научно обоснованные выводы о распределении одной или более неизвестных случайных величин или их взаимосвязи между собой. Метод, состоящий в том, что на основании свойств и характеристик выборки делаются заключения о числовых характеристиках и законе распределения случайной величины (генеральной совокупности) называется выборочным методом.

Для того, чтобы характеристики случайной величины, полученные выборочным методом, были объективны, необходимо, чтобы выборка была репрезентативной, т.е. достаточно хорошо представляла исследуемую величину. В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно, т.е. все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Для этого существуют различные виды отбора выборки.

1. Простым случайным отбором называется отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности.

2. Стратифицированный (расслоенный ) отбор заключается в том, что исходная генеральная совокупность объема N подразделяется на подмножества (страты) N 1 , N 2 ,…,N k , так что N 1 + N 2 +…+ N k = N. Когда страты определены, из каждого из них извлекается простая случайная выборка объема n 1 , n 2 , …, n k . Частным случаем стратифицированного отбора является типический отбор, при котором объекты отбирают не из всей генеральной совокупности, а из каждой типической ее части.

Комбинированный отбор сочетает в себе сразу несколько видов отбора, образующих различные фазы выборочного обследования. Существуют и другие методы организации выборки.

Выборка называется повторной , если отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Выборка называется бесповторной , если отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. Для конечной генеральной совокупности случайный отбор без возвращения приводит на каждом шаге к зависимости отдельных наблюдений, случайный равновозможный выбор с возвращением - к независимости наблюдений. На практике обычно имеют дело с бесповторными выборками. Тем не менее, когда объем генеральной совокупности N во много раз больше, чем объем выборки n (например, в сотни или тысячи раз), зависимостью наблюдений можно пренебречь.

Таким образом, случайная выборка х 1 , х 2 , …, х n - это результат последовательных и независимых наблюдений над случайной величиной ξ, представляющую генеральную совокупность, и все элементы выборки имеют тоже распределении, что исходная случайная величина x.

Функцию распределения F x (х) и другие числовые характеристики случайной величины x будем называть теоретическими, в отличие от выборочных характеристик , которые определяются по результатам наблюдений.

Пусть выборка х 1 , х 2 , …, х к есть результат независимых наблюдений случайной величины x, причем х 1 наблюдалось n 1 раз, х 2 - n 2 раза, …, х к - n к раз, так что n i = n - объем выборки. Число n i , показывающее, сколько раз появилось значение х i в n наблюдениях, называется частотой данного значения, а отношение n i /n = w i - относительной частотой . Очевидно, что числа w i рациональны и .

Статистическая совокупность, расположенная в порядке возрастания признака, называется вариационным рядом . Его члены обозначают x (1) , x (2), … x (n) и называют вариантами . Вариационный ряд называется дискретным , если его члены принимают конкретные изолированные значения. Статистическим распределением выборки дискретной случайной величины x называется перечень вариант и соответствующих им относительных частот w i . Полученная таблица называется статистическим рядом.

X (1)	x (2)	...	x k(k)
ω 1	ω 2	...	ω k

Наибольшее и наименьшее значения вариационного ряда обозначают x min и x max и называют крайними членами вариационного ряда.

Если изучается непрерывная случайная величина, то группировка заключается в разбиении интервала наблюдаемых значений на k частичных интервалов равной длины h, и подсчете числа попаданий наблюдений в эти интервалы. Полученные числа принимают за частоты n i (для некоторой новой, уже дискретной случайной величины). В качестве новых значений вариант x i обычно берутся середины интервалов (либо в таблице указываются сами интервалы). Согласно формуле Стерждеса рекомендуемое число интервалов разбиения k » 1 + log 2 n , а длины частичных интервалов равны h = (x max - x min)/k. Предполагается, что весь интервал имеет вид .

Графически статистические ряды могут быть представлены в виде полигона, гистограммы или графика накопленных частот.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (x 1 , n 1), (x 2 , n 2), …, (x k , n k). Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1 , w 1), (x 2 , w 2), …, (x k , w k). Полигоны обычно служат для изображения выборки в случае дискретных случайных величин (рис. 7.1.1).

Рис. 7.1

.1.

Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длиною h , а высоты

равны w i /h.

Гистограмма обычно служит для изображения выборки в случае непрерывных случайных величин. Площадь гистограммы равна единице (рис. 7.1.2). Если на гистограмме относительных частот соединить середины верхних сторон прямоугольников, то полученная ломанная образует полигон относительных частот. Поэтому гистограмму можно рассматривать как график эмпирической (выборочной) плотности распределения f n (x). Если у теоретического распределения существует конечная плотность, то эмпирическая плотность является некоторым приближением теоретической.

Графиком накопленных частот называется фигура, строящаяся аналогично гистограмме с той разницей, что для расчета высот прямоугольников берутся не простые, а накопленные относительные частоты , т.е. величины . Эти величины не убывают, и график накопленных частот имеет вид ступенчатой "лестницы" (от 0 до 1).

График накопленных частот на практике используются для приближения теоретической функции распределения.

Задача. Анализируется выборка из 100 малых предприятий региона. Цель обследования - измерение коэффициента соотношения заемных и собственных средств (х i) на каждом i-ом предприятии. Результаты представлены в таблице 7.1.1.

Таблица Коэффициенты соотношений заемных и собственных средств предприятий.

5,56	5,45	5,48	5,45	5,39	5,37	5,46	5,59	5,61	5,31
5,46	5,61	5,11	5,41	5.31	5,57	5,33	5,11	5,54	5,43
5,34	5,53	5,46	5,41	5,48	5,39	5,11	5,42	5,48	5,49
5,36	5,40	5,45	5,49	5,68	5,51	5,50	5,68	5,21	5,38
5,58	5,47	5,46	5,19	5,60	5,63	5,48	5,27	5,22	5,37
5,33	5,49	5,50	5,54	5,40	5.58	5,42	5,29	5,05	5,79
5,79	5,65	5,70	5,71	5,85	5,44	5,47	5,48	5,47	5,55
5,67	5,71	5,73	5,05	5,35	5,72	5,49	5,61	5,57	5,69
5,54	5,39	5,32	5,21	5,73	5,59	5,38	5,25	5,26	5,81
5,27	5,64	5,20	5,23	5,33	5,37	5,24	5,55	5,60	5,51

Построить гистограмму и график накопленных частот.

Решение . Построим группированный ряд наблюдений:

1. Определим в выборке х min = 5,05 и x max = 5,85;

2. Разобьем весь диапазон на k равных интервалов: k » 1 + log 2 100 = 7,62; k = 8, отсюда длина интервала

Таблица 7.1.2. Сгруппированный ряд наблюдений

Номер Интервала	Интервалы	Середины интервалов х i	w i		f n (x)
	5,05-5,15	5,1	0,05	0,05	0,5
	5,15-5,25	5,2	0,08	0,13	0,8
	5,25-5,35	5,3	0,12	0,25	1,2
	5,35-5,45	5,4	0,20	0,45	2,0
	5,45-5,55	5,5	0,26	0,71	2,6
	5,55-5,65	5,6	0,15	0,86	1,5
	5,65-5,75	5,7	0,10	0,96	1,0
	5,75-5,85	5,8	0,04	1,00	0,4

На рис. 7.1.3 и 7.1.4, построенных по данным таблицы 7.1.2, представлены гистограмма и график накопленных частот. Кривые соответствуют плотности и функции нормального распределения, "подобранного" к данным.

Таким образом, распределение выборки является некоторым приближением распределения генеральной совокупности.