Полякова екатерина, учащаяся 6б класса

Кто такой Евклид?

В работе рассказывается о биографии древнегреческого математика Евклида (иначе Эвклид), авторе первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. История возникновения книги «Начала», её краткое содержание.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Новоаганская общеобразовательная средняя школа № 2»

Евклид и его книга «Начала»

Работу выполняла:

Екатерина Полякова, учащаяся 6б класса

Руководитель:

Чекина Ольга Александровна,

учитель математики.

Пгт. Новоаганск

2014

План

1. Ведение .

1. Цели и задачи.

II. Основная часть .

1. Кто такой Евклид?
2. Главная работа Евклида – "Начала".
3. О чем его книга?
4. Что сделал Евклид?

III. Заключение.

IV. Использованная литература.

Введение

Цель моей работы:

Расширить свои знания по выбранной теме. Узнать больше о жизни Эвклида, о его работе, о знаменитой книге «Начала».

Подготовиться к выступлению на ученической конференции.

Задачи :

1) Найти информацию по теме «Эвклид и его книга «Начала».

2) Познакомиться с его книгой «Начала».

3) Оформить доклад.

4) Выполнить презентацию.

5) Выступить на конференции.

Кто такой Евклид?

Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики , а в правление Птолемея I (306-283 до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид – первый математик александрийской школы.

О жизни этого ученого почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

Большую часть жизни Эвклид провел в Александрии - городе, заложенном Александром Македонским на берегу Средиземного моря, у устья Нила. Царь Птолемей I сделал Александрию столицей Египта; чтобы возвеличить свое государство, он привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них Мусейон- храм муз.

Его работа?

Так как знания по математике нужно было как-то записывать, то Евклид написал книгу под названием «Начала», в которой было все, что люди тогда знали о геометрии и даже сейчас эти знания используются. Правда, потом древние книги безжалостно уничтожали, потому что они не нравились христианам и мусульманам. Но в некоторых переводах все же книга «Начала» выжила.

Важнейший математический труд гениального Евклида его книга

«Начала» имеет весьма почтенный возраст - свыше двух тысячелетий.

Главная работа Евклида – содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например, алгоритм Евклида );

состоит из 13-ти книг, к которым присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, до сих пор неизвестно кто их автор? Их приписывают Гипсиклу Александрийскому.

В "Началах" Евклид подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.

Из других математических сочинений Евклида надо отметить "О делении фигур", сохранившееся в арабском переводе, четыре книги "Конические сечения", материал которых вошёл в одноимённое произведение Аполлония Пергского, а также "Поризмы", представление о которых можно получить из "Математического собрания" Паппа Александрийского.

О чем его книга?

Евклидова книга «Начала» представляет собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием евклидовой. Она описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет евклидовым. Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка - это неделимый атом пространства.

Сочинение Евклида состоит из 15 книг.

В 1-й книге формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора.

Во 2-й книге излагаются основы геометрической алгебры.

3-я книга посвящена свойствам круга, его касательных и хорд.

В 4-й книге рассматриваются правильные многоугольники.

Книга 5-я и 6-я посвящены теории отношений и ее применению к решению алгебраических задач.

Книга 7-я, 8-я и 9-я посвящены теории целых и рациональных чисел.

В книге 10-й рассматриваются квадратичные иррациональности.

В книге 11-й рассматриваются основы стереометрии.

В 12-й книге доказываются теоремы, относящиеся к площади круга и объему шара, выводятся отношения объемов пирамид, конусов, призм и цилиндров.

В основу 13-й книги легли результаты, полученные в области правильных многогранников.

Книги 14-я и 15-я не принадлежат Евклиду, они были написаны позднее: 14-я - во II в. до н. э., а 15-я - в VI в.

У Евклида мы встречаем также описание монохорда - однострунного прибора для определения высоты тона струны и ее частей. Полагают, что монохорд придумал Пифагор, а Евклид только описал его («Деление канона», III век до нашей эры).

Изобретение монохорда имело значение для развития музыки. Постепенно вместо одной струны стали использоваться две или три. Так было положено начало созданию клавишных инструментов, сначала клавесина, потом пианино, А первопричиной появления этих музыкальных инструментов стала математика.

Что сделал Евклид?

Евклид - это древний мыслитель, который открыл науку геометрию. Можно сказать, что именно Евклид навел порядок в математике того времени.
Евклид – автор ряда работ по астрономии, оптике, музыке и др. Арабские авторы приписывают Евклиду и различные трактаты по механике, в том числе сочинения о весах и об определении удельного веса.

Шли века, менялись народы, исчезали с лица земли одни государства и возникали другие, рушились города, горели в пламени пожаров книги и библиотеки. А «Начала», написанные впервые на хрупком папирусе, прошли сквозь время.

Созданные в III в. до н. э. «Начала» не потеряли своего значения и сейчас. Они занимают особое место в истории математики.

Эвклид, один из величайших геометров, решил найти законы, которым подчиняются все линии и тела в природе, и расположить эти законы в строгой системе...

Конечно все особенности евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили «Начала» Евклида.

Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.

Заключение

В результате проделанной работы я познакомилась с жизнедеятельностью Евклида. Изучила историю возникновения книги «Начала», её содержание.

Оформила доклад, выполнила презентацию.

Презентация может послужить дополнительным материалом на уроках математики.

Источники информации

Евклид родился около 330 г. до н.э., предположительно, в г. Александрия. Некоторые арабские авторы полагают, что он происходил из богатой семьи из Нократа. Есть версия, что Евклид мог родиться в Тире, а всю свою дальнейшую жизнь провести в Дамаске. Согласно некоторым документам, Евклид учился в древней школе Платона в Афинах, что было под силу только состоятельным людям. Уже после этого он переедет в г. Александрия в Египте, где и положит начало разделу математики, ныне известному как «геометрия».

Жизнь Евклида Александрийского часто путают с жизнью Евклида из Мегуро, что делает сложным обнаружение любых надёжных источников жизнеописания математика. Достоверно известно только то, что именно он привлёк внимание общественности к математике и вывел эту науку на совершенно новый уровень, совершив революционные открытия в этой области и доказав множество теорем. В те времена Александрия была не только крупнейшим городом в западной части мира, но и центром крупной, процветающей отрасли производства папируса. Именно в этом городе Евклид разработал, записал и представил миру свои труды по математике и геометрии.

Научная деятельность

Евклида обоснованно считают «отцом геометрии». Именно он заложил основы этой области знаний и возвёл её на должный уровень, открыв обществу законы одного самых сложных разделов математики в то время. После переезда в Александрию, Евклид, как и многие учёные того времени, благоразумно проводит большую часть времени в Александрийской библиотеке. Этот музей, посвящённый литературе, искусству и наукам, был основан ещё Птолемеем. Здесь Евклид начинает объединять геометрические принципы, арифметические теории и иррациональные числа в единую науку геометрию. Он продолжает доказывать свои теоремы и сводит их в колоссальный труд «Начала».

За всё время своей малоисследованной научной деятельности, учёный закончил 13 изданий «Начал», охватывающих широкий спектр вопросов, начиная с аксиом и утверждений и заканчивая стереометрией и теорией алгоритмов. Наряду с выдвижением различных теорий, он начинает разрабатывать методику доказательства и логическое обоснование этих идей, которые докажут предложенные Евклидом утверждения.

Его труд содержит более 467 утверждений касательно планиметрии и стереометрии, а также гипотез и тезисов, выдвигающих и доказывающих его теории относительно геометрических представлений. Доподлинно известно, что в качестве одного из примеров в своих «Началах» Евклид использовал теорему Пифагора, устанавливающую соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Евклид утверждал, что «теорема верна для всех случаев прямоугольных треугольников».

Известно, что за время существования «Начал», вплоть до XX века, было продано больше экземпляров этой книги, чем Библии. «Начала», изданные и переизданные бесчисленное количество раз, в своей работе использовали разные математики и авторы научных трудов. Евклидова геометрия не знала границ, и учёный продолжал доказывать всё новые теоремы в совершенно разных областях, как, например, в области «простых чисел», а также в области основ арифметических знаний. Цепочкой логических рассуждений Евклид стремился открыть тайные знания человечеству. Система, которую учёный продолжал разрабатывать в своих «Началах», станет единственной геометрией, которую будет знать мир вплоть до XIX века. Однако современные математики открыли новые теоремы и гипотезы геометрии, и разделили предмет на «евклидову геометрию» и «неевклидову геометрию».

Сам учёный называл это «обобщённым подходом», основанным не на методе проб и ошибок, а на представлении неоспоримых фактов теорий. Во времена, когда доступ к знаниям был ограничен, Евклид принимался за изучение вопросов совершенно разных областей, в том числе и «арифметики и чисел». Он заключил, что обнаружение «самого большого простого числа» физически невозможно. Это утверждение он обосновал тем, что, если к самому большому известному простому числу добавить единицу, это неизбежно приведёт к образованию нового простого числа. Этот классический пример является доказательством ясности и точности мысли учёного, несмотря на его почтенный возраст и времена, в которые он жил.

Аксиомы

Евклид говорил, что аксиомы – это утверждения, не требующие доказательств, но при этом он понимал, что слепое принятие на веру этих утверждений не может использоваться в построении математических теорий и формул. Он осознавал, что даже аксиомы должны быть подкреплены неоспоримыми доказательствами. А потому учёный начал приводить логические заключения, подтверждавшие его геометрические аксиомы и теоремы. Для лучшего понимания этих аксиом, он разделил их на две группы, которые назвал «постулатами». Первая группа известна как «общие понятия», состоящие из признанных научных утверждений. Вторая группа постулатов является синонимом самой геометрии. Первая группа включает такие понятия, как «целое больше суммы частей» и «если две величины порознь равны одной и той же третьей, то они равны между собой». Вот лишь два из пяти постулатов, записанных Евклидом. Пять постулатов второй группы относятся непосредственно к геометрии, утверждая, что «все прямые углы равны между собой», и что «от всякой точки до всякой точки можно провести прямую».

Научная деятельность математика Евклида процветала, и в начале 1570-х г.г. его «Начала» были переведены с греческого языка на арабский, а затем и на английский язык Джоном Ди. С момента своего написания, «Начала» были перепечатаны 1 000 раз и, в конце концов, заняли почётное место в учебных классах XX столетия. Известно множество случаев, когда математики пытались оспорить и опровергнуть геометрические и математические теории Евклида, но все попытки неизменно оканчивались провалом. Итальянский математик Джироламо Саккери стремился усовершенствовать труды Евклида, но оставил свои попытки, не в силах отыскать в них ни малейшего изъяна. И лишь спустя столетие новая группа математиков сможет представить новаторские теории в области геометрии.

Другие работы

Не переставая трудиться над изменением теории математики, Евклид успел написать ряд работ на другую тематику, которые используются и на которые ссылаются по сей день. Эти труды были чистыми предположениями, основанными на неопровержимых доказательствах, красной нитью проходящими через все «Начала». Учёный продолжил изучение и открыл новую область оптики – катоптрику, в значительной мере утверждавшую математическую функцию зеркал. Его работы в области оптики, математических соотношений, систематизаций данных и изучения конических сечений затерялись в глубине веков. Известно, что Евклид успешно окончил восемь изданий, или книг, по теоремам, касающимся конических сечений, но ни одна из них не дошла до наших дней. Он также сформулировал гипотезы и предположения, основанные на законах механики и траектории движения тел. По-видимому, все эти работы были взаимосвязаны, и высказанные в них теории произрастали из единого корня – его знаменитых «Начал». Он также разработал ряд евклидовых «построений» – основных инструментов, необходимых для выполнения геометрических построений.

Личная жизнь

Есть свидетельства, что Евклид открыл при Александрийской библиотеке частную школу, чтобы иметь возможность обучать математике таких же энтузиастов, как он сам. Также бытует мнение, что в поздний период своей жизни он продолжал помогать своим ученикам в разработке собственных теорий и написании трудов. У нас нет даже чёткого представления о внешности учёного, а все скульптуры и портреты Евклида, которые мы видим сегодня, являются лишь плодом воображения их творцов.

Смерть и наследие

Год и причины смерти Евклида остаются для человечества тайной. В литературе встречаются туманные намёки на то, что он мог умереть около 260 г. до н.э. Наследие, оставленное учёным после себя, куда более значимо, чем впечатление, которое он производил при жизни. Его книги и труды продавались по всему миру до самого XIX века. Наследие Евклида пережило учёного на целых 200 веков, и служило источником вдохновения для таких личностей, как, например, Авраам Линкольн. По слухам, Линкольн всегда суеверно носил при себе «Начала», и во всех своих речах цитировал работы Евклида. Даже после смерти учёного, математики разных стран продолжали доказывать теоремы и издавать труды под его именем. В общем и целом, в те времена, когда знания были закрыты для широких масс, Евклид логическим и научным путём создал формат математики древности, который в наши дни известен миру под названием «евклидовой геометрии».

Оценка по биографии

Новая функция! Средняя оценка, которую получила эта биография. Показать оценку

В III веке до н.э. сочинение, содержащее основы античной математики.

В «Началах» Евклида рас-смат-ри-ва-лись во-про-сы эле-мен-тар-ной гео-мет-рии, тео-рии чи-сел, ал-геб-ры, об-щей тео-рии от-но-ше-ний и ме-тод оп-ре-де-ле-ния пло-ща-дей и объ-ё-мов, вклю-чаю-щий эле-мен-ты тео-рии пре-де-лов. Евк-лид под-вёл ито-ги 300-лет-не-го раз-ви-тия греческой ма-те-ма-ти-ки и за-ло-жил фун-да-мент для даль-ней-ших ма-те-ма-тических ис-сле-до-ва-ний. «Началах» Евклида не яв-ля-ют-ся, од-на-ко, эн-цик-ло-пе-ди-ей ма-те-ма-тических зна-ний сво-ей эпо-хи. Так, в «Началах» Евклида не из-ла-га-лась тео-рия ко-нических се-че-ний, ко-то-рая бы-ла то-гда уже дос-та-точ-но раз-ви-та, от-сут-ст-во-ва-ли вы-чис-лительный ме-то-ды.

«Началах» Евклида по-строе-ны по де-дук-тив-ной сис-те-ме: сна-ча-ла при-во-дят-ся оп-ре-де-ле-ния, по-сту-ла-ты и ак-сио-мы, за-тем фор-му-ли-ров-ки тео-рем и их до-ка-за-тель-ст-ва (смотрите Де-дук-ция). Вслед за оп-ре-де-ле-ни-ем ос-нов-ных гео-мет-рических по-ня-тий и объ-ек-тов (например, точ-ки, пря-мой) Евк-лид до-ка-зы-ва-ет су-ще-ст-во-ва-ние ос-таль-ных объ-ек-тов гео-мет-рии (например, рав-но-сто-рон-не-го тре-уголь-ни-ка) пу-тём их по-строе-ния, ко-то-рое вы-пол-ня-ет-ся на ос-но-ва-нии пя-ти по-сту-ла-тов. В по-сту-ла-тах ут-вер-жда-ет-ся воз-мож-ность вы-пол-не-ния не-ко-то-рых эле-мен-тар-ных по-строе-ний, например что «от вся-кой точ-ки до вся-кой точ-ки (мож-но) про-вес-ти пря-мую ли-нию» (I по-сту-лат) и что «от вся-ко-го цен-тра и вся-ким рас-тво-ром (мо-жет быть) опи-сан круг» (III по-сту-лат). Осо-бое ме-сто за-ни-ма-ет V по-сту-лат, ина-че - ак-сио-ма о па-рал-лель-ных (смотрите Гео-мет-рия, Пя-тый по-сту-лат). По-сле по-сту-ла-тов в ««Началах» Евклида при-во-дят-ся ак-сио-мы - пред-ло-же-ния о свой-ст-вах от-но-ше-ний ра-вен-ст-ва и не-ра-вен-ст-ва ме-ж-ду ве-ли-чи-на-ми.

На про-тя-же-нии бо-лее 2 тыс. лет «Начала» Евклида яв-ля-лись об-раз-цом на-учной стро-го-сти. С современной точ-ки зре-ния сис-те-ма ак-си-ом и по-сту-ла-тов «Начала» Евклида не-дос-та-точ-на для де-дук-тив-но-го по-строе-ния гео-мет-рии. Ло-гические не-дос-тат-ки по-строе-ния «Начала» Евклида пол-но-стью вы-яс-ни-лись в конце XIX века по-сле ра-бот Д. Гиль-бер-та.

«Начала» Евклида со-сто-ят из 13 книг. В книге I рас-смат-ри-ва-ют-ся основные свой-ст-ва тре-уголь-ни-ков, пря-мо-уголь-ни-ков, па-рал-ле-ло-грам-мов и про-из-во-дит-ся срав-не-ние их пло-ща-дей. Кни-га за-кан-чи-ва-ет-ся Пи-фа-го-ра тео-ре-мой. В книге II из-ла-га-ет-ся т. н. гео-мет-рическая ал-геб-ра, т. е. стро-ит-ся гео-мет-рический ап-па-рат для ре-ше-ния за-дач, сво-дя-щих-ся к квад-рат-ным урав-не-ни-ям. В книге III рас-смат-ри-ва-ют-ся свой-ст-ва кру-га, его ка-са-тель-ных и хорд, в книге IV - пра-виль-ные мно-го-уголь-ни-ки. В книге V да-ёт-ся об-щая тео-рия про-пор-ций, соз-дан-ная Ев-док-сом Книд-ским; её мож-но рас-смат-ри-вать как про-об-раз тео-рии дей-ст-ви-тель-ных чи-сел, раз-ра-бо-тан-ной во второй половине XIX века. Об-щая тео-рия про-пор-ций яв-ля-ет-ся ос-но-вой уче-ния о по-до-бии (книга VI) и ме-то-да ис-чер-пы-ва-ния (книга VII). В кни-гах VII-IX из-ло-же-ны на-ча-ла тео-рии чи-сел, ос-но-ван-ные на ал-го-рит-ме на-хо-ж-де-ния наи-боль-ше-го об-ще-го де-ли-те-ля (Евк-ли-да ал-го-ритм). В эти кни-ги вхо-дит тео-рия де-ли-мо-сти, вклю-чая тео-ре-мы об од-но-знач-но-сти раз-ло-же-ния це-ло-го чис-ла на про-стые мно-жи-те-ли и о бес-ко-неч-но-сти чис-ла про-стых чи-сел; здесь так-же из-ла-га-ет-ся уче-ние об от-но-ше-ни-ях це-лых чи-сел, эк-ви-ва-лент-ное, по су-ще-ст-ву, тео-рии по-ло-жи-тель-ных ра-цио-наль-ных чи-сел. В книге Х да-ёт-ся клас-си-фи-ка-ция квад-ра-тич-ных и би-квад-ра-тич-ных ир-ра-цио-наль-но-стей и обос-но-вы-ва-ют-ся не-ко-то-рые пра-ви-ла их пре-об-ра-зо-ва-ния. Ре-зуль-та-ты книги Х при-ме-ня-ют-ся в книге XIII для на-хо-ж-де-ния длин рё-бер пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков. В книге XI из-ла-га-ют-ся ос-но-вы сте-рео-мет-рии. В книге XII с по-мо-щью ис-чер-пы-ва-ния ме-то-да оп-ре-де-ля-ют-ся от-но-ше-ния пло-ща-дей двух кру-гов и от-но-ше-ния объ-ё-мов пи-ра-ми-ды и приз-мы, ко-ну-са и ци-лин-д-ра. В книге XIII оп-ре-де-ля-ет-ся от-но-ше-ние объ-ё-мов двух ша-ров, стро-ят-ся 5 пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков и до-ка-зы-ва-ет-ся, что др. пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков не су-ще-ству-ет. Позд-нее греческими ма-те-ма-ти-ка-ми к ««Началам» Евклида бы-ли при-сое-ди-не-ны кни-ги XIV и XV, не при-над-ле-жав-шие Евк-ли-ду.

«Начала» Евклида по-лу-чи-ли ши-ро-кую из-вест-ность уже в древ-но-сти. Ар-хи-мед , Апол-ло-ний Перг-ский и др. учё-ные опи-ра-лись на них в сво-их ис-сле-до-ва-ни-ях по ма-те-ма-ти-ке и ме-ха-ни-ке. До на-ше-го вре-ме-ни ан-тич-ный текст «Начал» Евклида не до-шёл (древ-ней-шая из со-хра-нив-ших-ся ко-пий от-но-сит-ся ко второй половине IX века). В конце VIII - начале IX веков поя-ви-лись пе-ре-во-ды «Начал» Евклида на арабский язык. Пер-вый пе-ре-вод с араб-ско-го на латинский язык был сде-лан в первой четверти XII века. Пер-вое пе-чат-ное из-да-ние «Начал» Евклида поя-ви-лось в Ве-не-ции в 1482 году. Од-ним из луч-ших счи-та-ет-ся из-да-ние И. Гей-бер-га («Euclidis Elementa», vol. 1-5, 1883-1888), в ко-то-ром при-во-дит-ся как греческий текст, так и его латинский пе-ре-вод. На русском язы-ке ««Начала» Евклида из-да-ва-лись мно-го-крат-но на-чи-ная с XVIII века.

По ма-те-риа-лам ста-тьи из БСЭ-3.

В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Аполлония – и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от появившихся в XIX в. «неевклидовых геометрий».

Об этом поразительном человеке история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в самом его существовании. Что же дошло до нас? Каталог греческих геометров Прокла Диадоха Византийского, жившего в V в. н.э., - первый серьезный источник сведений о греческой геометрии. Из каталога следует, что Евклид был современником царя Птолемея I, который царствовал с 306 по 283 г. до н.э.

Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на «Начала». До наших времен дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столице Птолемея I, начинавшей превращаться в один из центров научной жизни. Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию. Кроме «Начал» до нас дошли книги Евклида, посвященные гармонии и астрономии.

Что касается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не может быть сравнимо с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора (VI в. до н. э.), Евдокса и Теэтета (IV в. до н.э.). Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвел итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму, что на две тысячи лет «Начала» стали энциклопедией геометрии.

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в «Начала» еще две книги – XIV-ю и XV-ю, написанные другими авторами.

Первая книга Евклида начинается с 23 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линия есть длина без ширины; линия ограничена точками; прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек; наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолженные, не встречаются. Это скорее наглядные представления об основных объектах, и слово «определение» в современном понимании не точно передает смысл греческого слова «хорой», которым пользовался Евклид.

В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их площади. Здесь появляется теорема о сумме углов треугольника. Затем следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провести одну прямую; каждая прямая может быть сколь угодно продолжена; данным радиусом из данной точки можно провести окружность; все прямые углы равны; если две прямые проведены к третьей под углами, составляющими в сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той же стороны от этой прямой. Все эти постулаты, кроме одного, вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения, или аксиомы – восемь общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора (см. Пифагора теорема).

В книге II излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало.

В книге III рассматриваются свойства круга, свойства касательных и хорд, в книге IV – правильные многоугольники, появляются основы учения о подобии. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел (см. Чисел теория), основанной на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида (см. Евклида алгоритм), сюда входит теория делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Последние книги посвящены стереометрии. В книге XI излагаются начала стереометрии, в XII с помощью метода исчерпания определяются отношение площадей двух кругов и отношение объемов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Вершина стереометрии у Евклида – теория правильных многогранников. В «Начала» не попало одно из величайших достижений греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу «Начала конических сечений», не дошедшую до нас, но ее цитировал в своих сочинениях Архимед.

«Начала» Евклида не дошли до нас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старые известные списки, семь столетий – сколь-нибудь подробные сведения о «Началах». В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги «Начал» пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли «улучшениями» позднейших комментаторов.

В период возрождения европейской математики (XVI в.) «Начала» изучали и воссоздавали заново. Логическое построение «Начал», аксиоматика Евклида воспринимались математиками как нечто безупречное до XIX в., когда начался период критического отношения к достигнутому, который закончился новой аксиоматикой евклидовой геометрии – аксиоматикой Д. Гильберта. Изложение геометрии в «Началах» считалось образцом, которому стремились следовать ученые и за пределами математики.

​ (англ.)

Ватиканский манускрипт (XI, Предложения, 31-33 )

Содержание [ | ]

Изложение в «Началах» ведётся строго дедуктивно . Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, например, ссылка «I, Определения, 2 » - второе определение первой книги. Всего в 13 книгах «Начал» 130 определений, 5 постулатов, 5 (в части изданий - 9) аксиом, 16 лемм и 465 теорем (включая задачи на построение) .

Первая книга [ | ]

Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I, Определения, 1-7 ) гласят:

1. Точка есть то, что не имеет частей. (Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν - букв. «Точка есть то, часть чего ничто»)
2. Линия - длина без ширины.
3. Края же линии - точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. (Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ" ἑαυτῆς σημείοις κεῖται )
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Края же поверхности - линии.
7. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

Постулаты Евклида

За определениями Евклид приводит постулаты (I, Постулаты, 1-5 ):

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый пятый постулат . Среди других, интуитивно очевидных постулатов, он нарочито чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста и желание отыскать для него доказательство. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл ; а в Новое время из этих попыток развилась неевклидова геометрия . Следует отметить, что первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии , то есть не опираются на V постулат.

За постулатами следуют аксиомы (I, Аксиомы, 1-9 ), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:

В скобки взяты аксиомы, принадлежность которых Евклиду Гейберг, автор классической реконструкции текста «Начал», счёл сомнительной. Постулаты 4-5 (I, Постулаты, 4-5 ) в ряде списков выступают как аксиомы (I, Аксиомы, 10-11 ).

За аксиомами следуют три теоремы, представляющие собой задачи на построение, давно вызывающие споры. Так, вторая из них (I, Предложения, 2 ) предлагается «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой». Нетривиальность этой задачи состоит в том, что Евклид не переносит отрезок на прямую соответствующим раствором циркуля, полагая такую операцию недозволенной, и использует третий постулат (I, Постулаты, 3 ) в неожиданно узком смысле.

При доказательстве четвёртой теоремы (I, Предложения, 4 ), выражающей признак равенства треугольников, Евклид использует метод наложения, никак не описанный в постулатах и аксиомах. Все комментаторы отмечали эту лакуну, Гильберт не нашел ничего лучшего, как сделать признак равенства треугольников по трём сторонам (I, Утверждения, 8 ) аксиомой III-5 в своей системе. С другой стороны, четвёртый постулат (I, Постулаты, 4 ) теперь принято доказывать, как это сделал впервые Христиан Вольф , у Гильберта это утверждение выводится из аксиом конгруэнтности .

Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных прямых и параллелограммах; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора .

Книги II-XIII [ | ]

II книга - теоремы так называемой «геометрической алгебры».

III книга - предложения об окружностях , их касательных и хордах , центральных и вписанных углах .

V книга - общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским .

X книга - классификация несоизмеримых величин. Это самая объёмная из книг «Начал».

XI книга - начала стереометрии: теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей; теоремы о телесных углах , объём параллелепипеда и призмы , теоремы о равенстве и подобии параллелепипедов.

В целом содержание «Начал» покрывает значительную часть античной теоретической математики. Однако некоторая часть известного древнегреческим математикам материала осталась вне этого труда - например, конические сечения (Евклид посвятил им отдельный труд, который не сохранился), длина окружности , теория приближённых вычислений .

Взаимозависимости книг [ | ]

Номер книги	Зависимость от других книг
1	Самостоятельна
2	Опирается на книгу 1
3	Опирается на книгу 1 и предложения 5, 6 книги 2
4	Опирается на книги 1, 3 и на предложение 11 книги 2
5	Самостоятельна
6	Опирается на книги 1, 5 и на предложения 27 и 31 книги 3
7	Самостоятельна
8	Опирается на определения из книг 5, 7
9	Опирается на книги 7, 8 и на предложения 3, 4 книги 2
10	Опирается на книги 5, 6; предложения 44, 47 из книги 1 предложение 31 из книги 3 предложения 4, 11, 26 из книги 7 предложения 1, 24, 26 из книги 9
11	Опирается на книги 1, 5, 6, предложение 31 из книги 3 и предложение 1 из книги 4
12	Опирается на книги 1, 3, 5, 6, 11, предложения 6, 7 из книги 4 и предложение 1 из книги 10
13	Опирается на книги 1, 3, 4, 5, 6, 10, 11 и на предложение 4 из книги 2

Критика [ | ]

Для своего времени и вплоть до (примерно) XIX века «Начала» считались образцом логического изложения математической теории. Структура трудов Декарта , Ньютона и даже Спинозы строилась по образцу «Начал». Однако уже в античные времена были критически отмечены некоторые недостатки евклидовского труда - например, Архимед обосновал необходимость добавить «аксиому Архимеда » (которую сформулировал ещё Евдокс , живший до Евклида). Со временем число признанных недостатков постепенно увеличивалось. Современные взгляды на обоснование, содержание и методы как геометрии, так и арифметики существенно отличаются от античных.

Прежде всего, следует отметить, что сейчас прямая понимается как линия бесконечной длины. Античные учёные полностью избегали понятия актуальной бесконечности , у Евклида всюду используются только конечные отрезки прямой . Видимо, по этой причине постулат параллельности Евклида сформулирован довольно громоздко - зато он имеет локальный характер, то есть описывает событие на ограниченном участке плоскости, в то время как, например, аксиома Прокла («через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной») утверждает факт параллельности, который требует рассмотрения всей бесконечной прямой . Ещё одной архаичной особенностью «Начал» является ограничение только двумя видами кривых - прямыми и окружностями, которые греки считали единственно совершенными , а также чрезмерно узкое понятие числа, которое не включало иррациональных чисел и поэтому вынудило античных математиков без особой нужды ввести параллельное с арифметикой исчисление «геометрических величин» («геометрическая алгебра», книга II «Начал») .

Многие комментаторы Евклида отмечали, что данные им определения геометрических понятий бессодержательны и создают не более чем наглядный образ - например, «линия есть длина без ширины». Фактически подобные «определения» нигде далее в тексте не используются, ни одна теорема на них не опирается . Излишним оказался, как уже говорилось выше, и IV постулат Евклида о равенстве всех прямых углов , его можно доказать как теорему .

Далее, по замыслу все доказательства теорем должны вытекать из явно сформулированных аксиом. На самом деле многие факты у Евклида опираются на подразумеваемую или наглядную очевидность. Прежде всего это касается понятия движения , которое неявно используется во многих местах - например, при наложении треугольников для доказательства признаков их равенства. Уже Прокл отметил этот факт как существенный методический пробел. Аксиом движения Евклид не дал - возможно, чтобы не смешивать высокую геометрию с «низкой» механикой. Современные авторы аксиоматики предусматривают специальную группу «аксиом конгруэнтности » .

Уже в доказательстве самого первого предложения («на любом отрезке можно построить равносторонний треугольник») Евклид подразумевает, что две окружности радиуса R , чьи центры находятся на расстоянии R , пересекаются в двух точках. Ни из каких аксиом это не следует ; для логической полноты следовало бы добавить аксиому непрерывности . Аналогичные упущения имеют место для пересечения прямой и окружности , в употреблении неопределяемого понятия «находиться между» (для точек) и в ряде иных мест. Аксиоматика Евклида не позволяет, например, доказать, что не существует прямой, проходящей через все три стороны треугольника.

Одним из важнейших открытий XIX века стало обнаружение и исследований непротиворечивых неевклидовых геометрий ; оно показало, что преимущественное использование на практике евклидовой геометрии не означает, что эта геометрия «абсолютно истинна».

Манускрипты и издания [ | ]

Греческий текст «Начал» [ | ]

При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты «Начал» Евклида. Самый известный был найден в «городе папирусов» Оксиринхе в - и содержит формулировку одного из утверждений второй книги с рисунком (II, Предложения, 5 ) .

Греческий текст «Начал» Евклида известен по византийским манускриптам, два самых известных из них хранятся Бодлианской библиотеке и Ватиканской апостольской библиотеке (двухтомный Ватиканский манускрипт) .

На их основе, а также с учётом арабских переводов «Начал» (датируемых IX веком и позднее) оригинальный текст был реконструирован датским историком науки Гейбергом в конце XIX века, его методы подробно описаны Хизом ) . Гейберг использовал в своей реконструкции 8 греческих манускриптов, датируемых современными исследователями IX-XI веками. Из этих манускриптов семь в своем заглавии имеют пометку «из издания Теона » или «из лекций Теона» и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта, немного (наиболее существенный - концовка IV книги). На полях манускриптов имеются многочисленные комментарии, взятые частично из комментариев Прокла, которые вписывают «Начала» в контекст греческой культуры, например, сообщается о том, что Пифагор, открыв свою теорему, принёс в жертву быков.

История обретения византийских манускриптов темна. Вероятно, они попали в Европу ещё в XVI веке, но не были опубликованы. В первом издание греческого текста, осуществленном Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) между 1533 и 1558 годами под редакцией Симона Гринера (Simon Gryner, он же Grynaeus, профессор греческого языка в базельском университете), использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии XVI века. Лишь в 1808 году Пейрар во время наполеоновских экспроприаций нашёл три манускрипта в Риме и среди них важнейший - двухтомный ватиканский манускрипт.

Латинский текст «Начал» [ | ]

В Европе «Начала» Евклида на латинском языке были хорошо известны и в Средние века , и в эпоху Возрождения , однако далеко не в привычном теперь виде. Средневековые латинские трактаты, содержащие фрагменты «Начал» Евклида, каталогизированы мюнхенским учёным Фолькертсом , разделившим манускрипты на следующие группы:

Печатные издания «Начал» Евклида каталогизированы Томасом-Стэнфордом . Первое печатное издание «Начал» было осуществлено Эрхардом Ратдольтом в Венеции в 1482 году и воспроизводило «Начала» в обработке Кампано. Следующее издание не копировало первое, было осуществлено Бартоломео Дзамберти в 1505 году . Из предисловия известно, что Дзамберти переводил греческий манускрипт, передающий «Начала» в обработке Теона, однако, Гейбергу не удалось его идентифицировать.

В XVI веке считалось, что Евклиду принадлежат лишь формулировки теорем, доказательства же были придуманы позже; были распространены издания «Начал» без доказательств и издания, сравнивающие доказательства Кампана и Дзамберти . Этот взгляд имел вполне твёрдую основу: в начале XVI века была издана геометрия Боэция , которая тоже являлась переводом «Начал» Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Считалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в XVII веке.

Русские переводы [ | ]

Первое издание «Начал» на русском языке издано в 1739 году; книга вышла в Петербурге под названием «Евклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранныя и в осьмь книг через профессора мафематики Андрея Фархварсона сокращенныя, с латинского на российский язык хирургусом Иваном Сатаровым преложенныя» . Перевод выполнил Иван Сатаров под руководством шотландского математика Генри Фарварсона , служившего в это время при российском Морском корпусе . Имя Ньютона («Нефтона») в названии упомянуто то ли по недоразумению, то ли в рекламных целях, к содержанию книги он никакого отношения не имеет. Перевод был сделан с сокращённого и модернизированного французского издания «Начал» Андре Таке , куда переводчиками были добавлены ряд числовых примеров и критические комментарии .

Немного позднее вышли ещё 2 перевода, также сокращённые до 8 книг:

• (1769) Перевод Н. Г. Курганова , преподавателя Морского кадетского корпуса: «Евклидовы Елементы Геометрии, то есть первыя основания науки о измерении протяжения»;
• (1784) Перевод Прохора Суворова и Василия Никитина «Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: первая, вторая, третья, четвёртая, пятая, шестая, одиннадцатая и двенадцатая; к сим прилагаются книги тринадцатая и четырнадцатая. Переведены с греческого и поправлены. В Санкт-Петербурге, в типографии Морского шляхетного Кадетского Корпуса» (переизданы в 1789 году).

Практически полностью (кроме X книги) «Начала» на русском языке вышли в переводе Фомы Петрушевского : книги 1-6 и 11-13 в 1819 году, книги 7-9 в 1835 году . В 1880 году вышел перевод Ващенко-Захарченко . Ещё один сокращённый перевод был издан в Кременчуге (1877 год) под названием «Восемь книг геометрии Эвклида»; перевод под руководством А. А. Соковича (1840-1886), директора местного реального училища, выполнили два воспитанника этого училища .

Последнее по времени полное академическое издание было опубликовано в 1949-1951 годах, перевод с греческого и комментарии - Дмитрия Мордухай-Болтовско́го .