: Расширить свои знания в области доказательства неравенств. Познакомиться с неравенством Коши. Научиться применять изученные методы к доказательству неравенств.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №655

Приморского района Санкт-Петербурга

«Доказательство неравенств. Неравенство Коши»

2014г.

Ли Нина Юрьевна

8в класс

Аннотация…………………………………………………………………………………….3

Введение …………………………………………………………………………………….. 4

Историческая справка………………………………………………………………………..4

Неравенство Коши……………………………………………………………………………5

Доказательство неравенств…………………………………………………………………..7

Выводы исследования………………………………………………………………………..10

Список литературы……………………………………………………………………………11

Ли Нина

г. Санкт-Петербург, ГБОУ СОШ №655, 8 класс

«Доказательство неравенств. Неравенство Коши».

руководитель: Мороз Юлия Владимировна, учитель математики

Цель научной работы: Расширить свои знания в области доказательства неравенств. Познакомиться с неравенством Коши. Научиться применять изученные методы к доказательству неравенств.

ВВЕДЕНИЕ

«…основные результаты математики чаще выражаются не равенствами, а неравенствами».

Э. Беккенбах

Решением неравенств мы занимаемся на протяжении всего школьного курса. Неравенства можно решать графическим и аналитическим способом. Чтобы решить любое неравенство существует определенный алгоритм действий, поэтому данная задача является, скорее механическим действием, который не требует творческого подхода.

Напротив, доказательство неравенств требует неформального, вариативного подхода. Поэтому доказательство неравенств является наиболее интересным.

Однако, в школьном курсе математики доказательству неравенств уделяется очень мало внимания. Доказательство неравенств сводится к одному приему- оценке разности частей неравенства. Между тем, на математических олимпиадах часто встречаются задачи на доказательство неравенств с применением других способов и приемов (использование опорных неравенств, метод оценивания). На олимпиадах для школьников по математике также часто предлагаются неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности и возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Кроме того, многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики) эффективно решаются с помощью неравенств.

Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимосвязанные и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.

Доказательства неравенств помогают развить навык осмысления и применения приемов доказательства неравенств; умение применять их при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.

Целью данной работа является расширение знаний в области методов и приемов доказательства неравенств.

Для достижения данной цели исследования мы поставили перед собой задачи:

• сбор информации из различных источников о приемах и методах доказательства неравенств;
• познакомится с неравенством Коши;
• Научится применять опорные неравенства к доказательству более сложных неравенств.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием «равенство» возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались еще древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π.

В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующем образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые и поныне знаки неравенства, обосновывая нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (

Несмотря на то что знаки неравенства были предложены через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда - было нелегко.

Знаки ≤ и ≥ ввел французский математик П. Буге.

НЕРАВЕНСТВО КОШИ

Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств удается лишь немногим. И, кроме того, ничто не мешает нам в каждом конкретном случае поискать более удобное, лучшее решение, нежели полученное общим методом. По этой причине доказательства неравенств нередко относят к области искусства. И как во всяком искусстве здесь есть свои технические приемы, набор которых весьма широк и овладеть всеми очень сложно.

Одним из таких «базовых» неравенств является неравенство Коши, указывающее на соотношение двух средних величин – среднего арифметического и среднего геометрического. Среднее арифметическое изучается в школьном курсе пятого класса и выглядит таким образом Среднее геометрическое впервые появляется в курсе геометрии восьмого класса - . В прямоугольном треугольнике таким свойством обладают три отрезка: два катета и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.

Между этими двумя этими величинами существует удивительное соотношение, которое исследовали ученые. О. Коши, французский математик, пришел к выводу о том, что среднее арифметическое n неотрицательных чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.

Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:

Равенство достигается при a = b.

Неравенства верны, если выполняются условия a > 0, b > 0.

Алгебраическое доказательство этого не равенства довольно простое:

(а – в)² ≥ 0;

Применим формулу «квадрат разности»:

а² - 2ав + в² ≥0;

Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :

а² + 2ав + в² ≥4ав;

Применим формулу «квадрат суммы»:

(а + в)² ≥4ав;

Разделим обе части неравенства на 4 :

Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:

Получили искомое выражение.

Рассмотрим геометрическое доказательство:

Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.

Доказать:

Доказательство:

1. АК – биссектриса, следовательно, ВАL = LAD. LAD и BLA – внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей AL, то есть BLA = LAD.
2. В = 90°, следовательно, BAL = LAD = 45°, но BLA = LAD, значит, ∆ АВL – равнобедренный, BL = AB = b.
3. ∆AKD – равнобедренный, так как KD ┴ AD, DAL = 45°, значит AD = KD = a.

Очевидно, что , равенство достигается при

a = b , то есть ABCD – квадрат.

заменим в неравенстве а² на m , b² на n , получим

Или ,

то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ

Метод синтеза.

Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.

Решим задачу, используя метод синтеза

Задача 1. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c справедливо неравенство

Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел

Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны

Задача 2. Применим неравенство Коши к доказательству этого неравенства:

Метод использования тождеств .

Суть метода состоит в том, что данное неравенство путём равносильных преобразований приводится к очевидному тождеству.

Рассмотрим решение задачи этим методом.

Задача. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство .

Решение. Выделим в левой части неравенства полный квадрат

При любых действительных a и b это выражение неотрицательно, значит и данное неравенство выполнимо, то есть .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная исследовательская работа была направлена на решение следующих задач:

• сбор информации и изучение различных методов и приемов доказательства неравенств;
• знакомство с замечательным неравенством Коши, его доказательство алгебраическим и геометрическим способом;
• применение полученных знаний для доказательства неравенств;
• знакомство с методом синтеза и использования тождеств в решении поставленных задач.

В процессе решения задач мы достигли поставленной цели нашей исследовательской работы –нахождение оптимально эффективного метода доказательства неравенств.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобр. учрежд./ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов.-13-е изд.- М.:Мнемозина,2013.-384с.

1. Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. Методические рекомендации/ И.Е.Феоктистов.-3-е изд.,стер.-М.:Мнемозина,2013.-173 с.

1. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина,2008. – 215с., С 185-200.

1. Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.

Учебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре

Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.

Пример 1 . Доказать что для любого хϵR

Доказательство. 1 способ .

2 способ .

для квадратичной функции

что означает её положительность при любом действительном х .

Пример 2 . Доказать, что для любых x и y

Доказательство.

Пример 3 . Доказать, что

Доказательство.

Пример 4 . Доказать, что для любых a и b

Доказательство.

2. Метод от противного

Вот хороший пример применения данного метода.

Доказать, что для a, b ϵ R.

Доказательство.

Предположим, что.

Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно.

Ч.Т.Д.

Пример 5 . Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство

Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:

, что является обоснованием исходного неравенства.

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С , для которых выполняется неравенство

, что невозможно ни при каких действительных А,В и С . Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

Использование свойств квадратного трехчлена

Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если

и.

Пример 6 . Доказать, что

Доказательство.

Пусть, a=2, 2>0

=>

Пример 7 . Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство

Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:

, а>0, D

D= => P(x)>0 и

верно при любых действительных значениях х и у.

Пример 8 . Доказать, что

для любых действительных значениях х и у.

Доказательство. Пусть ,

Это означает, что для любых действительных у и неравенство

выполняется при любых действительных х и у.

Метод введения новых переменных или метод подстановки

Пример 9 . Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z

Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для,

.

Получаем исследуемое неравенство

Использование свойств функций.

Пример 10 . Докажем неравенство

для любых а и b.

Доказательство. Рассмотрим 2 случая:

• Если а=b,то верно

причем равенство достигается только при а=b=0.

2)Если

, на R =>

()* ()>0, что доказывает неравенство

Пример 11 . Докажем, что для любых

Доказательство.

на R.

Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Применение метода математической индукции

Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.

Пример 12 . Доказать, что для любого nϵN

• Проверим истинность утверждения при

- (верно)

2) Предположим верность утверждения при

(k>1)

3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.

Сравним и: ,

Имеем:

Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

Использование замечательных неравенств

• Теорема о средних (неравенство Коши)

• Неравенство Коши – Буняковского

• Неравенство Бернулли

Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)

Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического

, где

Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

• Пусть n=2, тогда

• Пусть n=2, a>0, тогда

• Пусть n=3, тогда

Пример 13 . Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство

Доказательство.

Неравенство Коши - Буняковского

Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение

Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

Пример 14.

Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:

Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.

Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство

Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде

и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.

Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство

Неравенство может применяться для выражений вида

Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Пример 16 .

Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения

Получим требуемое неравенство.

Пример 17 . Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.

по теореме Бернулли, что и требовалось.

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.

МОУ Гришино -Слободская средняя общеобразовательная школа

Программа модуля

« Методы доказательства неравенств»

в рамках элективного курса

«За страницами учебника математики»

для учащихся 10-11 классов

Составил:

учитель математики

Панкова Е.Ю

Пояснительная записка

«Математику называют тавтологической наукой: другими словами, про математиков говорят, что они тратят время на доказательство того, что предметы равны самим себе. Это утверждение весьма неточно по двум причинам. Во-первых, математика, несмотря на свойственный ей научный язык, не является наукой; скорее ее можно назвать искусством. Во- вторых основные результаты математики чаще выражаются неравенствами, а не равенствами.»

Неравенства используются в практической работе математика постоянно. Они применяются для получения ряда интересных и важных экстремальных свойств «симметричных» фигур: квадрата, куба, равностороннего треугольника, а также для доказательства сходимости итерационных процессов и вычисления некоторых пределов. Важна роль неравенств и в различных вопросах естествознания и техники.

Задачи на доказательство неравенств самые трудные и интересные из традиционных. Доказательства неравенств требуют истинной изобретательности, творчества, которые делают математику тем захватывающим воображение предметом, каким она является.

Обучение доказательствам играет большую роль в развитии дедуктивно- математического мышления и общих мыслительных способностей учащихся. Как же научить школьников самостоятельно проводить доказательства неравенств? Ответ гласит: только путем рассмотрения многих приемов и методов доказательств и регулярного их применения.

Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств удается лишь немногим школьникам. И, кроме того, ничто не мешает ученику в каждом конкретном случае поискать лучшее решение, нежели полученное общим методом. По этой причине доказательства неравенств нередко относят к области искусства. И как во всяком искусстве здесь есть свои технические приемы, набор которых весьма широк и овладеть всеми очень сложно, но каждый учитель должен стремится к расширению имеющегося в его запасе математического инструмента.

Данный модуль рекомендуется для учащихся 10-11 классов. Здесь рассматриваются не все возможные методы доказательства неравенств (не затронуты метод замены переменной, доказательство неравенств с помощью производной, метод исследования и обобщения, прием упорядочения). Предложить рассмотреть остальные методы можно на втором этапе (например, в 11 классе), если данный модуль курса вызовет интерес у учащихся, а также ориентируясь на успехи усвоения первой части курса.

		Уравнения и неравенства с параметром.
		Методы доказательства неравенств.
		Уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.
		Системы неравенств с двумя переменными.

«За страницами учебника математики»

«Методы доказательства неравенств»

		Введение.
		Доказательство неравенств на основании определения.
		Метод математической индукции.
		Применение классических неравенств.
		Графический метод.
		Метод от противного.
		Прием рассмотрения неравенств относительно одной из переменных.
		Идея усиления.
		Урок - контроль.

Урок1. Введение.

Доказательство неравенств -увлекательная и непростая тема элементарной математики. Отсутствие единого подхода к проблеме доказательства неравенств, приводит к поиску ряда приемов, пригодных для доказательства неравенств определенных видов. На данном элективном курсе будут рассматриваться следующие методы доказательства неравенств:

Повторение:

Провести доказательства некоторых свойств.

Классические неравенства:

1)
(неравенство Коши)

2)

3)

4)

Историческая справка:

Неравенство (1) называют в честь французского математика Огюста Коши. Число
называют средним арифметическим чисел a и b;

число
называют средним геометрическим чисел a и b. Таким образом, неравенство означает, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Дополнительно:

Рассмотреть несколько математических софизмов с неравенствами.

Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Софизмы – это ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку.

Пример:

Четыре больше двенадцати

Урок2.Доказательство неравенств на основании определения.

Суть этого метода заключается в следующем: для того чтобы установить справедливость неравенства F(x,y,z)>S(x,y,z) составляют разность F(x,y,z)-S(x,y,z) и доказывают, что она положительна. Применяя этот метод, часто выделяют квадрат, куб суммы или разности, неполный квадрат суммы или разности. Это помогает определить знак разности.

Пример. Доказать неравенство (x+y)(x+y+2cosx)+2 2sin 2 x

Доказательство:

Рассмотрим разность (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx)+ cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0.

Доказать неравенство:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

3.

4.
>2x-20

5.

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

7.

Урок3.Метод математической индукции.

При доказательстве неравенств, в которые входят натуральные числа часто прибегают к методу математической индукции. Метод состоит в следующем:

1) проверяем истинность теоремы для n=1;

2)допускаем, что теорема верна для некоторого n=k, и исходя из этого допущения доказываем истинность теоремы для n=k+1;

3) на основании первых двух шагов и принципа математической индукции заключаем, что теорема верна для любого n.

Пример.

Доказать неравенство

Доказательство:

1) при n=2 неравенство верно:

2)Пусть неравенство верно для n=k т.е.
(*)

Докажем, что неравенство верно при n=k+1, т.е.
. Умножим обе части неравенства (*) на
получим 3)Из п1.и п.2 делаем вывод, что неравенство верно для любого n.

Задания для работы в классе и дома

Доказать неравенство:

1)

2)

3)

4)

5)

6)
.

Урок4. Применение классических неравенств.

Суть этого метода заключается в следующем: с помощью ряда преобразований выводят требуемое неравенство с помощью некоторых классических неравенств.

Пример.

Доказать неравенство:

Доказательство:

В качестве опорного неравенства используем
.

Приведем данное неравенство к следующему виду:

, тогда

Но =
, тогда

Доказать неравенство:

1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq(для док-ва используется неравенство
)

2)
(для док-ва используется неравенство )

3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (для док-ва используется неравенство )

4)
(для док-ва используется неравенство ).

Урок5. Графический метод.

Доказательство неравенств графическим методом заключается в следующем: если доказываем неравенство f(x)>g(x)(f(x)

1) построить графики функций y=f(x) и y=g(x);

2)если график функции y=f(x) расположен выше (ниже) графика функции y=g(x), то доказываемое неравенство верно.

Пример.

Доказать неравенство:

cosx
,x0

Доказательство:

Построим в одной системе координат графики функций y=cosx и

Из графика видно, что при x0 график функции y=cosx лежит выше графика функции y= .

Задания для работы в классе и дома.

Доказать неравенство:

1)

3)ln(1+x)0

4)
.

5)

Урок6.Метод от противного

Суть этого метода заключается в следующем: пусть нужно доказать истинность неравенства F(x,y,z) S(x,y,z)(1). Предполагают противное, т. е что хотя бы для одного набора переменных справедливо неравенство F(x,y,z) S(x,y,z) (2). Используя свойства неравенств, выполняют преобразования неравенства (2). Если в результате этих преобразований получается ложное неравенство, то это означает, что предположение о справедливости неравенства (2) неверно, а потому верно неравенство (1).

Пример.

Доказать неравенство:

Доказательство:

Предположим противное, т. е .

Возведем обе части неравенства в квадрат, получим , откуда
и далее

. Но это противоречит неравенству Коши. Значит наше предположение неверно, т. е справедливо неравенство

Задания для работы в классе и дома.

Доказать неравенство:

Урок7. Прием рассмотрения неравенств относительно одной из переменных.

Суть метода заключается в рассмотрении неравенства и его решения относительно одной переменной.

Пример.

Доказать неравенство:

Пример.

Доказать неравенство:

Доказательство:

Задания для работы в классе и дома.

Доказать неравенство:

1)

2)

3)

Урок9. Урок- контроль знаний учащихся.

Работу на этом уроке можно организовать в парах или если большая численность класса в группах. В конце урока каждый учащийся должен быть оценен. Это и есть зачетная форма по данному курсу. По данной теме не рекомендуется проводить контрольную работу т.к. доказательство неравенств, как это уже говорилось в пояснительной записке, относят к области искусства. В начале учащимся предлагается самим определить метод доказательства предложенных неравенств. Если же у учащихся возникнут затруднения, то учитель сообщаем им рациональный метод, предупредив группу, что это, конечно же, повлияет на их оценку.

методы доказательство неравенств . Это метод доказательства неравенств с помощью введения вспомогательных функций...

Элективный курс по математике неравенства методы доказательств

Элективный курс

Не знакомы, различные методы доказательства неравенств , а также применение неравенств неравенств с помощью метода метод для доказательства неравенств , решать задачи...

Элективный курс по математике Неравенства Методы доказательств Пояснительная записка

Элективный курс

Не знакомы, различные методы доказательства неравенств , а также применение неравенств при решении задач различного... Уметь: проводить оценку неравенств с помощью метода Штурма, применять рассмотренный метод для доказательства неравенств , решать задачи...

Элективный курс по математике Неравенства Методы доказательств Пояснительная записка (1)

Элективный курс

Не знакомы, различные методы доказательства неравенств , а также применение неравенств при решении задач различного... Уметь: проводить оценку неравенств с помощью метода Штурма, применять рассмотренный метод для доказательства неравенств , решать задачи...

Здесь вводится алгебраическая трактовка соотношений “больше” и “меньше”, которая иллюстрируется на координатной прямой, и рассматривается ее применение для доказательства неравенств. Здесь же учащимся демонстрируется, как алгебраически можно доказать изученные в главе свойства неравенств, ранее они были обоснованы геометрически.

Доказательство неравенств - это довольно трудный для учащихся материал, поэтому в зависимости от уровня подготовки класса его следует рассматривать с разной степенью полноты.

Особенность задач на доказательство неравенств - возможность их решения различными способами. Поэтому целесообразно показать несколько вариантов доказательства неравенств, чтобы расширить возможности учащихся при решении задач.

Предлагаются два основных пути доказательства неравенств:

• 1) на основе составления разности правой и левой частей неравенства и последующего сравнения этой разности с нулем;
• 2) переход от одного неравенства к другому, ему равносильному, на основе свойств неравенств.

Оба пути равноправны. Но нужно следить за аккуратностью записей в том и другом случае. Учащимся необходимо разъяснить, что если выбран первый путь решения, то после составления разности выполняются преобразования этого выражения, которые можно записать в виде цепочки со знаком “=”. Полученное в итоге выражение сравнивается с нулем и, на основе этого делается заключение об исходном неравенстве. Если же выбран второй путь, то записывается последовательность равносильных неравенств (как при решении неравенства), и о последнем из них делается заключение - верно оно или нет. Вот как может, например, выглядеть оформление решения упраженения в том и в другом случае.

Доказать неравенство а2 + b2 + 2 2 (а + b) .

Составим разность Перенесем 2 (а + b) в левую

левой и правой частей часть неравенства:

неравенства: а2 + b2 + 2 - 2 (а + b) 0;

а2 + b2 + 2 - 2 (а + b) =а2 + b2 + 2 2а - 2b 0;

А2 + b2 + 2 - 2а - 2b == (а2 - 2а + 1) +

= (а2 - 2а + 1) ++ (b2 - 2b + 1) 0;

+ (b2 - 2b + 1) =(а - 1)2 + (b - 1)2 0 -

= (а - 1)2 + (b - 1)2 .верно, следовательно,

(а - 1)2 + (b - 1)2 0,верно и исходное неравенство:

следовательно, а2 + b2 + 2 2 (а + b) .

неравенство доказано:

а2 + b2 + 2 2 (а + b) .

Заметим, что в «Обязательный минимум содержания» доказательство неравенств не входит. Поэтому соответствующие умения могут рассматриваться как результат усвоения темы, но не как итоговый результат обучения. В связи с этим задания на доказательство неравенств не включаются в экзамен, не следует включать их и в иные итоговые проверки.

Докажите, что для положительных чисел p и q: p4 + q4 p3q + pq3.

Решение. Преобразуем разность

p4 + q4 - (p3q + pq3).

p4 + q4 - p3q - pq3 = p3 (p - q) + а3 (q - p) =

= (p - q) (p3 - q3) = (p - q)2 (p2 + pq + q2).

Так как p 0, q 0, то pq 0, p2 + pq + q2 0, кроме того, (p - q)2 0.

Произведение неотрицательного и положительного чисел - неотрицательно, т.е. рассматриваемая разность больше или равна нулю. Следовательно, при p 0, q 0 p4 + q4 p3q + pq3.

Докажите разными способами, что если a b 0, то а2 + а b2 + b.

Решение. При доказательстве неравенства вторым способом,

воспользуемся неравенством, доказанным в примере: если а и b - положительные числа и а b, то а2 b2. А потом, почленно сложив неравенство а2 b2 и неравенство а b, получим требуемое.

3. В каком случае турист пройдет одно и то же расстояние быстрее: если он будет идти по горизонтальной дороге с постоянной скоростью или же если половину пути он будет идти в гору со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем его скорость по горизонтальной дороге, а половину пцти - с горы со скоростью, на 1 км/ч большей, чем по горизонтальной дороге?

Решение. Обозначим скорость туриста по горизонтальной дороге буквой х, а расстояние примем за 1. Задача сводится к сравнению выражений

1 и ___1___ + ___1___

х 2(х-1) 2(х+1).

Составим их разность и преобразовав ее, получим, что

а это означает, что при таких условиях время движения по горизонтальной дороге меньше, чем по дороге с подъемом и спуском.

Транскрипт

1 ФГБОУ ВО «ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Кафедра геометрии и топологии Хальценен Елизавета Сергеевна Выпускная квалификационная работа на степень бакалавра Методы доказательства неравенств Направление: "0.03.0" «Математика» Научный руководитель Профессор, доктор ф.-м. наук, Платонов С.С. (подпись руководителя) Петрозаводск

2 Содержание Введение...3.Неравенство Йенсена Перестановочное неравенство Неравенство Караматы Решение задач на доказательство неравенств...3 Список литературы

3 Ведение Метод- это совокупность последовательных действий, направленных на решение конкретного вида задачи. Методы доказательства неравенств в данной работе направлены на поиск нестандартного решения неравенств, имеющих определенный вид. Используя такие методы, решение сокращается в разы. Результат тот же, а объем работы меньше. Целью выпускной работы стало изучение трех видов неравенств с помощью которых с легкостью доказываются многие другие. Это неравенство Йенсена, перестановочное неравенство, неравенство Караматы. Все эти неравенства математически красивы, с помощью этих неравенств можно решать школьные неравенства. Данная тема является актуальной. По моему мнению, она могла бы быть полезной для школьников, в том числе для повышения уровня знаний в области математики. Так как методы не являются стандартными, мне кажется, что ученикам с математическим уклоном, они были бы полезны и увлекательны. Поставленная задача поиск и решение тематических неравенств из предложенной литературы. Работа состоит из четырех параграфов. В параграфе описано неравенство Йенсена, приведено его доказательство и вспомогательные определения. В параграфе 2 перестановочное неравенство, его частные случаи и общее перестановочное неравенство. В параграфе 3 неравенство Караматы без доказательства. Параграф 4 - это основная работа выпускной работы, т.е. доказательства неравенств с помощью неравенства Йенсена, перестановочного неравенства и неравенства Караматы

4 . Неравенство Йенсена Определение. Подмножество плоскости называется выпуклым, если любые две точки данного множества можно соединить отрезком, который будет целиком лежать в этом множестве. Определение 2. Пусть f(x) определена на некотором интервале. Множество всех точек (x,y), для которых y f(x), называется надграфиком, где x принадлежит данному интервалу. Множество точек (x,y), для которых y f(x), называется подграфиком. Определение 3. Рассмотрим функцию на некотором интервале. Функция называется выпуклой, если на этом интервале её надграфик является выпуклым множеством. Функция называется вогнутой, если ее подграфик является выпуклым множеством. Критерий выпуклости (вогнутости) функции. Для того, чтобы функция y = f(x), непрерывно дифференцируемая на интервале(a, b), была выпуклой(вогнутой) на (a, b), необходимо и достаточно, чтобы ее производная f возрастала(убывала) на интервале (a, b). Критерий 2 выпуклости (вогнутости) функции. Для того, чтобы функция y = f(x), дважды дифференцируемая на интервале(a, b), была выпуклой(вогнутой) на (a, b), необходимо и достаточно, чтобы f (x) 0(f (x) 0) во всех точках x (a, b) Определение 4. Центром масс точек A(x, y) и B(x 2, y 2) называется точка С(x, y), принадлежащая отрезку AB, такая, что AC = m B, где m BC m B масса A точки В и m A масса точки А. В векторном виде центр масс находим следующим образом: радиус-вектор центра масс: где r i - радиус-вектор точек А и В, i =,2. В координатах: r = m r +m 2 r 2 m +m 2 () x = m x +m 2 x 2 m +m 2, y = m y +m 2 y 2 m +m 2-4 -

5 Пусть С AB - центр масс точек A и B. Если U- выпуклое подмножество плоскости и точки A и Bпринадлежат U, то и С AB принадлежит U, так как С AB принадлежит отрезку AB. ПустьA, A 2 A произвольные точки на плоскости с массами m, m 2, m. Центр масс C A,A 2 A системы точек A, A 2 A определяется индукцией по:) При = 2 центр масс С A A 2 системы точек A, A 2 уже определен. Будем считать, что точка С A A 2 имеет массу m + m 2 2) Предположим, что для системы точек A, A 2 A центр массc A,A 2 A уже определен. Обозначим центр масс точек A, A 2 A через B и будем считать, что масса точки B равна m B = m + m m. По определению полагаем C A,A 2 A = С BA, т.е. центр масс системы точек A, A 2 A, A равен центру масс двух точек B и A. Будем считать, что масса точки C A,A 2 A равна m B + m = m + m m. Из определения центра масс вытекает, что если все точки A, A 2 A принадлежат выпуклому множеству U, то их центр масс также принадлежит U. Лемма. Пусть A, A 2 A -точки на плоскости с массами m, m 2, m и пусть r i - радиус вектор точки A i, i =,. Если C -центр масс системы точек A, A 2 A, то радиус-вектор r C точки C может быть вычислен по формуле Доказательство. r C = m r +m 2 r 2 + +m r m +m 2 + +m (2) Будем доказывать формулу (2) индукцией по. При = 2 формула уже доказана (см. формулу ()). Предположим, что формула (2) уже доказана для (). Пусть B- центр масс системы точек A, A 2 A. Тогда - 5 -

6 r B = m r + m 2 r m r m + m m, масса точки B равна m B = m + m m. По определению, центр масс C системы точек A, A 2 A совпадает с центром масс пары точек B и A. Радиус вектор точки C вычисляется по формуле () r C = m Br B + m r m B + m = m r + m 2 r m r m + m m что доказывает формулу (2) для точек. В координатах формула (2) имеет вид: x C = m x + m 2 x m k x k m + m m k y C = m y + m 2 y m k y k m + m m k «Теорема Йенсена. Пусть y = f(x) функция выпуклая на некотором интервале, x, x 2, x - числа из этого интервала;m, m 2, m - положительные числа, удовлетворяющие условию m + m m =. Тогда выполняется неравенство Йенсена: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) Если функция y = f(x) - вогнутая на некотором интервале, x, x 2, x - числа из этого интервала; m, m 2, m -положительные числа, которые также удовлетворяют условию m + m m =. Тогда неравенство Йенсена имеет вид: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x)» Доказательство: Рассмотрим функцию f(x), выпуклую на интервале(a, b). На ее графике рассмотрим точки A, A 2, A и пусть A i = (x i, y i), y i = f(x i). Возьмем для точек A, A 2, A произвольные массыm, m 2, m, так, чтоm + m m =. Из того, что f(x)выпуклая функция следует то, - 6 -

7 что надграфик функции множество выпуклое. Следовательно, центр масс CточекA, A 2, A принадлежит надграфику. Найдем координаты центра масс: x c = m x + m 2 x m x m + m m = m x + m 2 x m x y c = m y + m 2 y m y m + m m = m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) Так как C принадлежит надграфику, то Получаем ч.т.д. y c f(x c) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) f(m x + m 2 x m x) Пользуясь неравенствомйенсена можно доказать неравенство Коши: Для любых положительных чисел a, a 2, a справедливо неравенство: (a + a a) a a 2 a Прологарифмируем неравенство (3), получим равносильное неравенство (3) l (a +a 2 + +a) l(a a 2 a) (4) Пользуясь свойствами логарифмов, перепишем неравенство (4) в виде: l (a +a 2 + +a) l a + l a l a (5) Полученное неравенство является частным случаем неравенства Йенсена для случая, когдаf(x) = l(x), m = m 2 = = m =. Заметим, что функция y = l(x) вогнутая на интервале (0, +), так как y = < 0, поэтому неравенство (5) есть частный случай неравенства x2-7 -

8 Йенсена для вогнутой функции f(x) = l(x). Так как неравенство (5) справедливо, то справедливо и равносильное ему неравенство (3) 2. Перестановочное неравенство Определение. Взаимно однозначное соответствие множества чисел {,2,3, } в себя называется перестановкой из элементов. Обозначим перестановку буквой σ так, что σ(), σ(2), σ(3) σ() - это числа,2,3, в другом порядке. Рассмотрим два набора чисел a, a 2, a и b, b 2, b. Наборы a, a 2, a и b, b 2, b называются одинаково упорядоченными, если для любых номеров i и j из того, что a i a j следует то, что b i b j. В частности, наибольшему числу из набора a, a 2, a соответствует наибольшее число из набора b, b 2, b, для второго числа по величине из первого набор найдется второе по величине число из второго набора и так далее. Наборы a, a 2, a и b, b 2, b называютсяобратно упорядоченными, если для любых номеров i и j из того, что a i a j следует то, что b i b j. Из этого следует, что наибольшему числу из набора a, a 2, a соответствует наименьшее число из набора b, b 2, b, второму по величине числу из набора a, a 2, a соответствует второе наименьшее с конца число набора b, b 2, b и так далее. Пример.) Пусть даны два набора, таких, что a a 2 a и b b 2 b, то согласно данными нами определениями эти наборы одинаково упорядоченные. 2)Пусть даны два набора, таких, что a a 2 a и b b 2 b, в таком случае наборы чисел a, a 2, a и b, b 2, b будутобратно упорядоченными Всюду далееa, a 2, a и b, b 2, b - положительные вещественные числа «Теорема. (Перестановочное неравенство) Пусть есть два набора чисел a, a 2, a и b, b 2, b. Рассмотрим множество их всевозможных перестановок. Тогда значение выражения - 8 -

9 S = a b σ + a 2 b σ2 + + a b σ () будет наибольшим, когда наборы a, a 2, a и b, b 2, b одинаково упорядочены, и наименьшим, когда a, a 2, a и b, b 2, b обратно упорядочены. Для всех остальных перестановок сумма S будет находиться между наименьшим и наибольшим значениями.» Пример. Согласно теореме a b + b c + c a 3, так как набор a, b, c и a, b, c обратно упорядочены и значение a a + b b + c c = 3будет наименьшим. Доказательство теоремы. Рассмотрим два набора чисел: первый a, a 2, a и второй b, b 2, b. Предположим, что эти наборы не упорядочены одинаково, те. Найдутся такие индексы i и k, что a i > a k и b k > b i. Поменяем во втором наборе числа b k и b i местами (такое преобразование называется «сортировкой»). Тогда в сумме S слагаемые a i b i и a k b k заменятся на a i b k и a k b i, а все остальные слагаемые останутся без изменений. Заметим, что a i b i + a k b k < a i b k + a k b i, так как (a i b i + a k b k) (a i b k + a k b i) = a i (b i b k) a k (b i b k) = (a i a k)(b i b k) < 0 Поэтому сумма Sувеличится. Выполняем сортировку пока это возможно. Если процесс прекратился, то это означает, что мы получили правильный порядок, а это и есть наибольшее значение. Наименьшее значение получается аналогично, только мы делаем сортировку до тех пор, пока наборы не будут обратно упорядоченными. В итоге мы придем к наименьшему значению. «Теорема 2. Рассмотрим два положительных набора a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b и все его возможные перестановки. Тогда значение произведения (a i + b σ(i)) будет наибольшим, когда наборы a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b одинаково упорядочены, и наименьшим, когда они обратно упорядочены

10 Теорема 3. Рассмотрим два набора a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b элементы этого набора положительны. Тогда значение () a i + b σ(i) Будет наибольшим, когда наборы a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b одинаково упорядочены и наименьшим, когда они упорядочены обратно.» Теоремы,2,3 являются частными случаями более общей теоремы, которая рассматривается далее. Общее перестановочное неравенство «Теорема 4 (Общее перестановочное неравенство). Пусть функция f- непрерывная и выпуклая на некотором промежутке в R. Тогда для любых наборов чисел a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b из промежутка значение выражения f (a + b σ()) + f (a 2 + b σ(2)) + f (a + b σ()) будет наибольшим, когда наборы одинаково упорядочены и наименьшим, когда наборы обратно упорядочены. Теорема 5. Пусть функция f- непрерывная и вогнутая на некотором промежутке в R Тогда: значение выражения f (a + b σ()) + f (a 2 + b σ(2)) + f (a + b σ()) будет наибольшим, когда числа обратно упорядочены и наименьшим, когда наборы a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b одинаково упорядочены. Доказательство.») Рассмотрим случай = 2. Пусть функция f выпуклая и есть два набора a > a 2 иb > b 2. Нам нужно доказать, что Обозначим f(a + b) + f(a 2 + b 2) f(a + b 2) + f(a 2 + b) (2) x = a + b 2, k = a a 2, m = b b 2. Тогда - 0 -

11 a + b 2 = x + k, a 2 + b = x + m, a + b = x + k + m, поэтому неравенство (2) примет вид f(x + k + m) + f(x + k) f(x + k) + f(x + m) (3) Для доказательства неравенства воспользуемся рисунком На рисунке нарисован график выпуклой функции y = f(x) графике отмечены точки A(x, f(x)), C(x + k, f(x + k)), D(x + m, f(x + m)), B (x + k + m, f(x + k + m)). и на Из выпуклости функции f вытекает, что хорда CD лежит ниже хорды AB. Пусть K - середина хорды CD, MЗ середина хорды AB. Заметим, что абсциссы точек K и M одинаковые, так как x k = 2 ((x + k) + (x + m)) = (2x + k + m) 2 x m = 2 (x + (x + k + m)) = (2x + k + m) 2 Следовательно точки K и M лежат на одной вертикальной прямой, откуда вытекает, что y m y k. - -

12 Так как y m = (f(x) + f(x + k + m)) 2 y k = (f(x + k) + f(x + m)) 2 Отсюда следуют неравенства (3) и (2). Что и требовалось доказать. 2) Пусть > 2. Предположим, что наборы a, a 2, a 3 a иb, b 2, b 3 b не упорядочены одинаково, т.е. найдутся такие индексы i и k, что a i > a k и b i < b k. Поменяем во втором наборе числа b i и b k местами. Тогда в сумме S слагаемые f(a i + b i) и f(a k + b k) заменятся на f(a i + b k) и f(a k + b i), а все остальные слагаемые останутся без изменений. Из неравенства (2) вытекает, что поэтому сумма S увеличится. f(a i + b k) + f(a k + b i) f(a i + b i) + f(a k + b k) Аналогично можно продолжать сортировку до тех пор, пока не получим одинаково упорядоченные наборы. Полученное значение суммы S будет наибольшим, что и требовалось доказать. Теорема 5 доказывается аналогично. 3. Неравенство Караматы Определение. Невозрастающий набор чисел X = (x, x 2, x) мажорирует невозрастающий набор чисел Y = (y, y 2, y) если выполнены условия x + x x k y + y y k и x + x x = y + y y. Для k =,2 и положительных чисел x, x 2, x и y, y 2, y. Обозначение X Y, если X можарирует Y и X Y, если Y можарирует X. Например. (,0,0,0, 0) (2, 2, 0,0,0, 0) (,) - 2 -

13 Еслиx, x 2, x положительные числа, i= x i =, то (,) (x, x 2, x) (,0,0,0, 0) «Теорема (Неравенство Караматы) Пусть f: (a, b) R, f выпуклая функцияx, x 2, x, y, y 2, y (a, b) и (x, x 2, x) (y, y 2, y), тогда f(x) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y 2) + f(y). Если f- вогнутая функция, то f(x) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y 2) + f(y).» Доказательство см. в . 4.Решение задач на доказательства неравенств. В этом параграфе рассмотрены различные задачи на доказательство неравенств, при решении которых можно использовать неравенство Йенсена, перестановочные неравенства или неравенство Караматы. Задание. Доказать неравенство где x, x 2, x > 0 Пусть x + x 2 + x + x x 2 x, f(x) = +x, m i = f(x) = (+ x) f(x) = (+ x) 2 f(x) = 2(+ x) 3 > 0, x Тогда из неравенства Йенсена вытекает, что - 3 -

14 Докажем, что i= + x i + x x 2 x + x +x 2 + +x Это верно тогда и только тогда, когда + x x 2 x + x + x x + x x 2 x x + x x x x 2 x А последнее неравенство совпадает с неравенством Коши. Задание 2. Доказать, что для любых a, b > 0 справедливо неравенство: 2 a + b ab Это равносильно неравенству 2ab a + b ab 2ab ab(a + b) 2 ab a + b ч.т.д. Задание 3. Доказать, что для любых a, a 2, a > 0 справедливо неравенство: a a 2 a a a 2 a Неравенство можно переписать в виде: - 4 -

15 () (a a a 2 a a 2 a) Сделаем заменуb i = a i, тогда неравенство примет вид: (b + b b) (b b 2 b) Это неравенство верно, т.к. это неравенство Коши. Задание 4. Доказать, что для любых a, a 2, a > 0 справедливо неравенство: Рассмотрим неравенство для =3. a + a a + a a 2 a 3 a a a a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 3 Обозначим a a 2 = x, a 2 a 3 = y, a 3 a = z, xyz = x+y+z 3 3 xyz=-верно Обозначим x = a a 2,x 2 = a 2 a 3,x = a a, Тогда x x 2 x =. Тогда неравенство примет вид: x + x x Это неравенство вытекает из неравенства Коши: ч.т.д. Задание 5. Доказать, что (x + x x) x x 2 x = si x + si x si x si x + x x, где 0 x i π - 5 -

16 Неравенство вытекает из неравенства Йенсена для функции y = si x. Функция y = si xвогнутая на интервале (0, π), так как y = si x < 0при x (0, π), Гдеm i =. ч.т.д. Задание 6. si x + si x si x si(x + x x) Доказать,что для любых a, a 2, a > 0 справедливо неравенство: (a + a 2+ +a)(a + a a) 2 Неравенство можно переписать в виде: это равносильно тому, что (a + a a) a + a a 2 a +a 2 + +a a + a 2+ +a Рассматриваем функцию f(x) = x Йенсена, получаем это равенство. и воспользовавшись неравенством Задание 7. Доказать, что для любых x, y, z > 0 справедливо неравенство x 5 + y 5 + z 5 x 3 y 2 + y 3 x 2 + z 3 x 2 Применим перестановочное неравенство. Пусть первый набор имеет вид Второй x 3, y 3, z 3, x 2, y 2, z 2 Выражение, стоящее в левой части, будет самым большим, т.к. значение выражения, стоящее в левой части x 5 + y 5 + z 5 составлено из одинаково упорядоченных наборов чисел. Из этого следует, что значение, полученное - 6 -

17 при всех остальных перестановках не больше значения, полученной при «самой правильной» расстановке переменных. Задание 8. Доказать, что для любых x, y, z > 0 справедливо неравенство: x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2 Можно считать, что x y z. Пусть a = x, a 2 = y, a 3 = z, b = + x 2, b 2 = + y 2, b 3 = + z 2 Наборы a, a 2, a 3 и b, b 2, b 3 противоположно упорядочены, поэтому по перестановочному неравенству сумма a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 наименьшая среди сумм В частности Что эквивалентно a b σ + a 2 b σ2 + a 3 b σ3. a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b 2 + a 2 b 3 + a 3 b, x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2. Задание 9. Доказать, что для любых a, a 2, a > 0 справедливо неравенство: (+ a 2) (+ a 2 2) (+ a 2) (+ a a 2 a 3 a)(+ a 2) (+ a) Умножим на a a 2 a, получим (a 2 + a 2)(a 3 + a 2 2) (a + a 2) (a + a 2)(a 2 + a 2 2) (a + a 2) - 7 -

18 Прологарифмируем неравенство и получим равносильное неравенство. l(a 2 + a 2) + l(a a 3) + + l(a 2 + a) l(a 2 + a) + l(a a 2) + + l(a 2 + a) (9.) Воспользуемся общим перестановочным неравенством для вогнутой функции y = l x. Пусть a i = a i, b i = a i 2. Тогда наборыb, b 2, b и a, a 2, a одинаково упорядочены, поэтому l(b + a) + l(b 2 + a 2) + + l(b + a) l(b + a 2) + l(b 2 + a 3) + + l(b + a), Что доказывает неравенство (9.). Задание 0. Доказать, что для любых положительных a, b, c a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ac (0.) Пусть a b c.. Так как наборы {a, b, c}и {a, b, c} одинаково упорядочены, а наборы {a, b, c} и {b, c, a} не одинаково упорядочены, то неравенство (0.) следует из перестановочного неравенства. Задание. Доказать, что если xy + yz + zx =, то Неравенство (.) вытекает из задачи 0. Задание 2. Доказать, что если a, b, c > 0, то x 2 + y 2 + z 2 (.). (a + c)(b + d) ab + cd Поскольку корень квадратный больше или равен нулю, то можно возвести правую и левую часть в квадрат. Получим: (a + c)(b + d) ab + 2 abcd + cd ab + ad + cb + cd ab + 2 abcd + cd ab + cd 2 abcd - 8 -

19 a 2 d 2 + 2abcd + c 2 d 2 4abcd a 2 d 2 + c 2 d 2 2abcd 0 (ad cd) 2 0 -Верно Задание 3, 4. Доказать, что для любых a, a 2, a > 0 справедливо неравенство: 3) a 2 + a a 2 (a +a 2 + a) 2 4)a 2 + a a 2 (3.) (4.) где a + a 2 + a = Неравенство (4.) вытекает из (3.) при a + a 2 + a =. Будем доказывать неравенство (3.). Его можно преобразовать к виду Или a 2 + a a 2 (a + a 2 + a) 2 2 a 2 + a a 2 (a + a a) Воспользуемся неравенством Йенсена для выпуклой функции f(x): f(q x + q 2 x 2 + q x) q f(x) + q 2 f(x 2) + q f(x), Где 0 q i, q + q 2 + q =. Если взять f(x) = x 2, q i =, i =,2, то получим неравенство (3.), ч.т.д. Задание 5. Доказать, что для любого натурального и для любых p, q справедливонеравенство () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + (5.) - 9 -

20 Преобразуем неравенство (5.) к эквивалентному виду: () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + () 2 pq + ()(p + q) + ()pq 0 Приведя подобные получим: ()[()pq + (p + q) pq] + 0 () () 0 () 0 () 0 всегда, так как -натуральное Докажем, что Заметим, что 0 (5.2) p + q pq = p(q) (q) = (p)(q) Так какp, q, то p 0, q 0, следовательно, неравенство (5.2) справедливо. Задание 6. Для любых положительных чисел x, y, z справедливо неравенство: Пусть x y z xyz (y + z x)(z + x y)(x + y z) (6.))Если y + z x < 0, то неравенство (6.) выполнено 2) Пусть все множители в правой части > 0. Тогда неравенство (6.) эквивалентно неравенству l x + l y + l z l(y + z x) + l(z + x y) + l(x + y z) Пусть f(x) = l x. Так как f(x)`` = x 2 < 0то функция f(x) = l x вогнутая на интервале (0, +) Проверим, что набор (y + z x, x + z y, x + y z) мажорирует набор (x, y, z). Действительно:

21 x + y z x (т. к. y z 0); (x + y z) + (x + z y) = 2x x + y (x + y z) + (x + z y) + (y + z x) = x + y + z Так как функция f(x) = l x вогнутая, то из неравенства Караматы вытекает, что l(x + y z) + l(x + z y) + l(y + z x) = l x + l y + l z, Что доказывает неравенство (6.). Задание 7. Доказать, что для любых a, b и c > 0 справедливо неравенство: a 2 + b 2 + c ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab Это эквивалентно тому, что Пусть a b c. a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc Рассмотрим два набора чисел a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab (a 2 + b 2 + c 2, ab + ac + b, ab + ac + b) (7.) (a 2 + 2bc, b 2 + 2ac, c 2 + 2ab) (7.2) Нужно доказать, что (7.) мажорирует (7.2). Воспользуемся определением мажоризации:) a 2 + b 2 + c 2 a 2 + 2bc (b c) 2 0-верно 2) a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac c 2 bc ac + ab 0 c(c b) a(c b) 0 (c b)(c a) 0-2 -

22 (c b) 0 и (c a) 0, тогда (c b)(c a) 0 3) 3)a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab Верно. Таким образом, набор чисел (7.) мажорирует набор чисел (7.2). Применяя неравенство Караматы для выпуклой функции f(x) = x, получаем верное исходное неравенство. Задание 8. Для a, b, c, d > 0 доказать, что справедливо неравенство a 4 + b 4 + c 4 + d 4 a 2 b 2 + a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 Пустьa b c d Сделаем замену: x = l a, y = l b, z = l c, w = l d и запишем исходное неравенство в виде: e 4x + e 4y + e 4z + e 4w + e x+y+z+w + e x+y+z+w e 2x+2y + e 2x+2z + e 2x+2w + e 2y+2z + e 2y+2w + e 2z+2w Рассмотрим два набора чисел: (4x, 4y, 4z, 4w, x + y + z + w, x + y + z + w) и (2x + 2y, 2x + 2z, 2x + 2w, 2y + 2z, 2y + 2w, 2z + 2w) Упорядочим эти наборы: (4x, 4y, 4z, x + y + z + w, x + y + z + w, 4w) и (8.) Второй остается без изменения: (2x + 2y, 2x + 2z, 2x + 2w, 2y + 2z, 2y + 2w, 2z + 2w) (8.2) Докажем, что (8.) мажорирует (8.2)

23 ) 4x 2x + 2y, x y верно 2) 4x + 4y 4x + 2y + 2z,y z верно 3) 4x + 4y + 4z 4x + 2y + 2z + 2x + 2w y + z x + w Так как наборы упорядочены таким образом, что 2x + 2w 2y + 2z Т.е. x + w y + z, то случай 3) возможен только приx + w = y + z 4) 4x + 4y + 4z + x + y + z + w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z x + y + z w 0 y + z x + w Аналогично предыдущему случаю, это неравенство корректно при x + w = y + z 5) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z + 2y + 2w z w верно 6) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w + 4w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z + 2y + 2w + 2z + 2w 0 = 0 Таким образом, набор (8.) мажорирует набор чисел (8.2). Воспользовавшись неравенством Караматы для функции f(x) = e x, получаем верное неравенство. Задание 9. Для a, b, c > 0 доказать, что справедливо неравенство a 3 + b 3 + c 3 + abc 2 3 (a2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca)

24 Пусть a b c Умножим обе части неравенства на 3, получим 3a 3 + 3b 3 + 3c 3 + 3abc 2(a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) 2 (9.) Сделаем замену: И запишем неравенство (9.) в виде: x = l a, y = l b, z = l c e 3x + e 3x + e 3x + e 3y + e 3y + e 3y + e 3z + e 3z + e 3z + e x+y+z + e x+y+z + e x+y+z e 2x+y + e 2x+y + e 2y+z + e 2y+z + e 2z+x + e 2z+x + e x+2y + e x+2y + e y+2z + e y+2z + e z+2x + e z+2x Рассмотрим два набора: (3x, 3x, 3x, 3y, 3y, 3y, 3z, 3z, 3z, x + y + z, x + y + z, x + y + z) и (9.2) (2x + y, 2x + y, 2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x, x + 2y, x + 2y, y + 2z, y + 2z, z + 2x, z + 2x) (9.3) Упорядочим эти наборы: (3x, 3x, 3x, 3y, 3y, 3y, x + y + z, x + y + z, x + y + z, 3z, 3z, 3z,) и (9.2) Упорядочим второй набор: 2x + y z + 2x y z верно y + 2z 2z + x y x верно Таким образом, получаем набор: (2x + y, 2x + y, z + 2x, z + 2x, 2y + z, x + 2y, x + 2y,2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x, y + 2z, y + 2z) (9.3) Нужно доказать, что набор чисел (9.2) мажорирует набор чисел (9.3)) 3x 2x + y, x y 2) 6x 4x + 2y, x y 3) 9x 6x + 2y + z, 3x 2y + z

25 4) 9x + 3y 4x + 2y + 2z + 4x, x + y 2z, при x = y получаем, что y z 5) 9x + 6y 4x + 2y + 2z + 4x + 2y + x, y z 6) 9x + 9y 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x, x + 3y 2z 0 При x = yполучаем, что y z 7) 9x + 9y + x + y + z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 2y + z, получаем y z 8) 9x + 9y + 2x + 2y + 2z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z, x + y + 3z 0 9) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 2z + x, x + 2y + 3z 0 0) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x, y z) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 6z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 2z + y, 5y z 2) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 9z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 4z + 2y 2x + 2y + 2z = 2x + 2y + 2z Таким образом, набор чисел (9.2) мажорирует набор чисел (9.3) и по неравенству Караматы для функции f(x) = e x получаем верное неравенство

26 Список литературы) Ю.П.Соловьев. Неравенства. М.:Издательство Московского центра непрерывного математического образования.2005г.. 6с. 2) И.Х. Сивашинский. Неравенства в задачах М.: Наука, с. 3) А. И. Храбров. Вокруг монгольского неравенства, Матем. просв., сер. 3, 7, МЦНМО, М., 2003, с. 4) Л. В. Радзивиловский, Обобщение перестановочного неравенства и монгольское неравенство, Матем. просв., сер. 3, 0, Изд-во МЦНМО, М., 2006, с. 5) В. А.ч Кречмар. Задачник по алгебре. Издание пятое М., наука, с. 6) Д. Номировский Неравенство Караматы /Д. Номировский // (Квант)-С

Выпуклые множества и функции R n множество наборов из n вещественных чисел. Далее это множество будем называть пространством, его элементы точками, точку с координатами (x 1,..., x n) будем обозначать

Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Решение задач очного тура девятой олимпиады Эйлера 1. Рассматриваются все решения системы x yz 1, x y z x, x y z. Найдите все значения, которые может принимать x. Ответ: 1; 1; 1. Решение 1. Так как x y

Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Московский физико-технический институт Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам.

98 МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЯ Решения уравнений основанные на свойствах выпуклой функции Липатова СВ г Калуга МБОУ «Лицей 9 имени КЭ Циолковского» 0 «А» класс Научный руководитель:

Алгебраическая форма комплексного числа. Учебная презентация А. В. Лихацкий Руководитель: Е. А. Максименко Южный федеральный университет 14 апреля 2008 г. А. В. Лихацкий (ЮФУ) Алгебр. форма компл. числа

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

72 Глава2 Многочлены Примеры и комментарии Алгоритмы А-01 Запись многочлена в стандартном виде А-02 Действия над многочленами А-03 Устные преобразования А-04 Формулы сокращенного умножения А-05 Бином Ньютона

Решения задач заочного тура 6-й олимпиады Эйлера I Математический блок Выясните, при каких значениях параметра найдутся вещественные числа x и y, удовлетворяющие уравнению xy + x + y + 7 Ответ: 89 Решение

Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/10 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 10-1 В компании из 6 человек некоторые компаниями по трое ходили

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Восьмая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура Решите уравнение a b c b a c c a b a b c, где a, b и c положительные числа Решение Ясно, что a b c решения данного уравнения

I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R(), если, m, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В трех предыдущих лекциях изучались прямые и плоскости, т.е.

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Девятая олимпиада Эйлера для учителей математики Решения задач заочного тура 1. Решите относительно x уравнение x(x ab) a b. Решение. Ясно, что x a b корень данного уравнения. Разделив многочлен x abx

1. Линейные уравнения с двумя переменными В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. Например, уравнения 2x+ 5= 0, 3x+ (8x 1) + 9= 0 являются линейными уравнениями с переменной

Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Задания Открытой олимпиады школьников по математике (54 Перечня олимпиад школьников, 2015/2016 уч. год) Оглавление I. Задания заключительного этапа олимпиады для 11 класса... 2 II. Задания 1 тура отборочного

3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Лекция 13. Выпуклые функции и формула Тейлора 1 Выпуклые и вогнутые C -гладкие функции. Определение 1 Функция называется выпуклой (вогнутой), если ее надграфик (подграфик) выпуклая область. Пример 1 x

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(,) f () () (), где () при

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Решение задач заочного тура 0 I Математический блок Задача Найдите число натуральных корней уравнения Ответ: 00 0 решений Решение задачи Представим число в виде Тогда правая часть данного уравнения равна

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Олимпиада «Будущие исследователи будущее науки» Математика. Отборочный тур 4.0.0 ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ 8 9 класс 8-9.. Какое число больше: 0 0 0 0 или 0 0 0 0? Ответ. Первое число больше второго. Решение. Обозначим

0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg(+). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f (x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Тема 1-4: Алгебраические операции А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1

Содержание И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы алгебраических уравнений Двойная замена...................................... Симметрические системы.................................

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Лекция 10 1 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 11 Определение Пусть V (R) ЛП над полем вещественных чисел Скалярное произведение на V это произвольная функция V V R, ставящая в соответствие упорядоченной паре векторов

1 Комплексные функции 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i

Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции Лекция Аффинные пространства. 1. Аффинный базис. 2. Аффинные координаты точек. 3. Векторное уравнение прямой. 4. Векторное уравнение плоскости. 5.

8 КЛАСС 1. Докажите, что для любого натурального числаn можно выбрать такое натуральное число а, чтобы число a(n+ 1) (+ n+1) нацело делилось на. 2. В городской олимпиаде по математике участвовали два

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 0- класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 00г. www.balls.ru Содержание Глава I. Действительные числа.. Глава II. Степенная

Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Московский физико-технический институт Неравенство Коши-Буняковского. Методическое пособие по подготовке к олимпиадам. Составитель: Паркевич Егор Вадимович Москва 014 Теоретический материал. В этой работе

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 МНОЖЕСТВА. ОТОБРАЖЕНИЯ. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ 1. О с н о в н ы е п о н я т и я и т е о р е м ы Пусть X множество и пусть (x) некоторое свойство, которое для каждого конкретного элемента

Семинар 2. Коники на проективной плоскости 1. Определение коники в P 2. Первые свойства коник. Как и ранее, мы работаем в k = R или C. Определение коники в P 2. Рассмотрим проективное отображение f: l

5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

ЛД Лаппо, АВ Морозов Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб для 0- кл общеобразоват учреждений / ША Алимов и др -е изд М: Просвещение, 00» Глава I Действительные

Глава 8 Прямые и плоскости 8.1. Уравнения линий и поверхностей 8.1.1. Линии на плоскости Предположим, что на плоскости задана аффинная система координат. Пусть l кривая на плоскости и f(x, y) некоторая

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности Задача 1 Решить уравнение: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Ответ: -1 Задача 2 Сумма

Лагерь 57 школы Июль 06 Неравенства (конспект) Дмитриева А, Ионов К Занятие первое Простые неравенства Неравенства о средних Задача Докажите неравенство x + 4y + 9z 4xy + 6yz + 6zx Решение: x + 4y + 9z

Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая Проба», 2017 г. МАТЕМАТИКА, 2 этап стр. 1/11 Решения и критерии оценивания заданий олимпиады 8-1 Найти все натуральные числа n от 1 до 100 такие, что если перемножить

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Лекция 7 Глава. Системы линейных неравенств.. Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из с неизвестными система