Квантовая механика имеет дело с объектами микромира, с наиболее элементарными составляющими материи. Поведение их определяется вероятностными законами, проявляющимися в форме корпускулярно-волновой двойственности - дуализма. Кроме того, важную роль в их описании играет такая фундаментальная величина, как физическое действие. Естественной единицей, задающей масштаб квантования этой величины, является постоянная Планка. Она же управляет и одним из основополагающих физических принципов - соотношением неопределенностей. Это простое на вид неравенство отражает естественный предел, до которого природа может ответить одновременно на некоторые наши вопросы.

Предпосылки вывода соотношения неопределенностей

Вероятностная интерпретация волновой природы частиц, введенная в науку М. Борном в 1926 г., четко указывала на то, что к явлениям на масштабах атомов и электронов неприменимы классические представления о движении. В то же время и некоторые аспекты матричной механики, созданной В. Гейзенбергом как метод математического описания квантовых объектов, потребовали выяснения их физического смысла. Так, этот метод оперирует дискретными наборами наблюдаемых величин, представляемыми в виде особых таблиц - матриц, а их перемножение обладает свойством некоммутативности, проще говоря, A×B ≠ B×A.

Применительно к миру микрочастиц это можно интерпретировать следующим образом: результат операций по измерению параметров A и B зависит от порядка их проведения. Кроме того, неравенство означает, что эти параметры нельзя измерить одновременно. Гейзенберг исследовал вопрос о взаимосвязи измерения с состоянием микрообъекта, поставив мысленный эксперимент по достижению предела точности одновременного измерения таких параметров частицы, как импульс и координата (подобные переменные называют канонически сопряженными).

Формулировка принципа неопределенности

Результатом усилий Гейзенберга стал вывод в 1927 г. следующего ограничения на применимость к квантовым объектам классических понятий: с повышением точности в определении координаты падает точность, с которой может быть известен импульс. Справедливо и обратное. Математически это ограничение выразилось в соотношении неопределенностей: Δx∙Δp ≈ h. Здесь x - координата, p - импульс, и h - постоянная Планка. Позднее Гейзенберг уточнил соотношение: Δx∙Δp ≥ h. Произведение «дельт» - разбросов в значении координаты и импульса, - имеющее размерность действия, не может оказаться меньше, нежели «мельчайшая порция» этой величины - постоянная Планка. Как правило, в формулах используют приведенную постоянную Планка ħ = h/2π.

Вышеприведенное соотношение носит обобщенный характер. Необходимо учитывать, что оно справедливо лишь для каждой пары координата - компонента (проекция) импульса на соответствующую ось:

• Δx∙Δp x ≥ ħ.
• Δy∙Δp y ≥ ħ.
• Δz∙Δp z ≥ ħ.

Кратко соотношение неопределенностей Гейзенберга можно выразить так: чем меньше область пространства, в которой движется частица, тем более неопределенным является ее импульс.

Мысленный опыт с гамма-микроскопом

В качестве иллюстрации к открытому им принципу Гейзенберг рассмотрел воображаемое устройство, позволяющее измерять положение и скорость (а через нее импульс) электрона сколь угодно точно путем рассеяния на нем фотона: ведь любое измерение сводится к акту взаимодействия частиц, без этого частицу вообще невозможно обнаружить.

Чтобы повысить точность измерения координаты, нужен более коротковолновый фотон, значит, он будет обладать большим импульсом, значительную часть которого при рассеянии передаст электрону. Эту часть определить нельзя, поскольку фотон рассеивается на частице случайным образом (притом что импульс - величина векторная). Если же фотон характеризуется малым импульсом, то у него большая длина волны, следовательно, координата электрона будет измерена с существенной погрешностью.

Принципиальный характер соотношения неопределенностей

В квантовой механике постоянная Планка, как уже отмечалось выше, играет особую роль. Эта фундаментальная константа входит практически во все уравнения данного раздела физики. Ее присутствие в формуле соотношения неопределенностей Гейзенберга, во-первых, указывает на масштаб, в котором эти неопределенности проявляются, и, во-вторых, говорит о том, что это явление связано не с несовершенством средств и методов измерения, а со свойствами самой материи и носит универсальный характер.

Может показаться, что в действительности частица все-таки обладает конкретными значениями скорости и координаты одновременно, а неустранимые помехи в их установление вносит акт измерения. Однако это не так. Движение квантовой частицы связано с распространением волны, амплитуда которой (точнее, квадрат ее абсолютного значения) указывает на вероятность нахождения в той или иной точке. Это означает, что у квантового объекта отсутствует траектория в классическом смысле. Можно сказать, что он обладает набором траекторий, и все они, соответственно их вероятности, осуществляются при движении (это подтверждено, например, экспериментами по интерференции электронной волны).

Отсутствие классической траектории равнозначно отсутствию у частицы таких состояний, в которых импульс и координаты характеризовались бы точными значениями одновременно. В самом деле, бессмысленно говорить о «длине волны в некоторой точке», а так как импульс связан с длиной волны соотношением де Бройля p = h/λ, частица, обладающая определенным импульсом, не имеет определенной координаты. Соответственно, если микрообъект обладает точной координатой, совершенно неопределенным становится импульс.

Неопределенность и действие в микро- и макромире

Физическое действие частицы выражается через фазу волны вероятности с коэффициентом ħ = h/2π. Следовательно, действие, как фаза, управляющая амплитудой волны, связано со всеми вероятными траекториями, и вероятностная неопределенность в отношении параметров, образующих траекторию, принципиально неустранима.

Действие пропорционально координате и импульсу. Эту величину можно представить и как разность между кинетической и потенциальной энергией, проинтегрированную по времени. Короче говоря, действие - это мера того, как изменяется движение частицы за некоторое время, и оно зависит, в частности, от ее массы.

В случае если действие значительно превышает постоянную Планка, наиболее вероятной становится траектория, определяемая такой амплитудой вероятности, которой соответствует наименьшее действие. Соотношение неопределенностей Гейзенберга кратко выражает то же самое, если его видоизменить с учетом того, что импульс равен произведению массы m на скорость v: Δx∙Δv x ≥ ħ/m. Сразу становится видно, что с увеличением массы объекта неопределенности становятся все меньше, и при описании движения макроскопических тел вполне применима классическая механика.

Энергия и время

Принцип неопределенности справедлив и для других сопряженных величин, представляющих динамические характеристики частиц. Таковыми, в частности, являются энергия и время. Они тоже, как уже было отмечено, определяют действие.

Соотношение неопределенностей энергия - время имеет вид ΔE∙Δt ≥ ħ и показывает, как связаны точность значения энергии частицы ΔE и промежуток времени Δt, на протяжении которого нужно эту энергию оценить. Так, нельзя утверждать, что частица может обладать строго определенной энергией в некоторый точный момент времени. Чем более короткий период Δt мы будем рассматривать, тем в больших пределах будет флуктуировать энергия частицы.

Электрон в атоме

Можно оценить, используя соотношение неопределенностей, ширину энергетического уровня, например, атома водорода, то есть разброс значений энергии электрона в нем. В основном состоянии, когда электрон пребывает на низшем уровне, атом может существовать бесконечно долго, иначе говоря, Δt→∞ и, соответственно, ΔE принимает нулевое значение. В возбужденном же состоянии атом пребывает лишь некоторое конечное время порядка 10 -8 с, а значит, обладает неопределенностью энергии ΔE = ħ/Δt ≈ (1,05∙10 -34 Дж∙с)/(10 -8 с) ≈ 10 -26 Дж, что составляет около 7∙10 -8 эВ. Следствием этого является неопределенность частоты излучаемого фотона Δν = ΔE/ħ, проявляющаяся как наличие у спектральных линий некоторой размытости и так называемой естественной ширины.

Мы можем также путем несложных вычислений, используя соотношение неопределенностей, оценить и ширину разброса координаты электрона, проходящего через отверстие в препятствии, и минимальные размеры атома, и величину его низшего энергетического уровня. Соотношение, выведенное В. Гейзенбергом, помогает в решении множества задач.

Философское осмысление принципа неопределенности

Наличие неопределенностей часто ошибочно трактуется как свидетельство полного хаоса, якобы царящего в микромире. Но их соотношение говорит нам совсем другое: всегда выступая попарно, они как бы налагают друг на друга вполне закономерное ограничение.

Соотношение, взаимно увязывающее неопределенности динамических параметров, является естественным следствием двойственной - корпускулярно-волновой - природы материи. Поэтому оно послужило основой для идеи, выдвинутой Н. Бором с целью интерпретации формализма квантовой механики - принципа дополнительности. Всю информацию о поведении квантовых объектов мы можем получать только посредством макроскопических приборов, и неизбежно вынуждены пользоваться понятийным аппаратом, выработанным в рамках классической физики. Таким образом, мы имеем возможность исследовать либо волновые свойства таких объектов, либо корпускулярные, но никогда - одновременно те и другие. В силу этого обстоятельства мы должны рассматривать их не как противоречащие, а как дополнительные друг к другу. А простая формула соотношения неопределенностей указывает нам на границы, вблизи которых необходимо подключать принцип дополнительности для адекватного описания квантово-механической реальности.

Теория Бора оказалась недостаточной для объяснения многих явле­ний микромира - строения многоэлектронных атомов, молекул, химиче­ской связи и т. д. Идеи де Бройля и выявленные на опыте волновые свой­ства частиц вещества послужили толчком к созданию принципиально новой теории, описывающей поведение микрочастиц с учетом их волно­вых свойств. Этой теорией стала квантовая (волновая) механика, основы которой были созданы в 1925-1926 гг. В. Гейзенбергом и Э. Шредингером.

После беседы с Н. Бором 20 летний студент Мюнхенского университета Вернер Гейзенберг пришел к выводу, что в последова­тельной и логически непротиворечивой теории атома нельзя использовать законы ньютоновской механики и потому следует отказаться от такого клас­сического понятия, как «электронная орбита».

В течение трех лет Вернер Гейзенберг думал над тем, какой должна быть новая механика микрочастиц. Статья Гейзенберга «О квантово-механическом истолковании кинема­тических и механических зависимостей» (от 27.07.1925 г.) явилась первым шагом к созданию совершенно новой теории микромира - квантовой ме­ханики.

Квантовая механика представляет собой нерелятивистскую теорию явлений, происходящих в микромире. Ее отличительной чертой является учет корпускулярно-волнового дуализма и вероятностное описание поведения микрочастиц.

Квантовая механика раскрывает два основных свойства вещества: квантованность внутриатомных процессов и волновую природу частиц.

Квантовая механика лишена наглядности, характерной для класси­ческой механики. Образы привычного нам макромира становятся непри­годными для описания явлений, происходящих в микромире.

Для того чтобы описать поведение любой частицы, нужно опреде­лить ее координату х, импульс р, энергию Е и т. д.

В классической механике считалось, что если выбрана та или иная система отсчёта, то любая движущаяся частица в каждый момент времени будет иметь в ней определённые координаты и скорость. Зная начальные значения этих величин, можно было определить их значения в последующие моменты времени и тем самым предсказать, где будет находится частица в той или иной момент времени. Однако опыты с микрочастицами (например, дифракционные эксперименты Дэвиссона и Джермера) показали, что в микромире такие предсказания невозможны. Здесь можно говорить лишь о вероятности обнаружения данной частицы в той или иной точке пространства. Предсказать же, в какую именно точку экрана в опыте Дэвиссона и Джермера попадёт конкретный электрон, принципиально невозможно.

Неспособность классической механики объяснить результаты подобных экспериментов обусловлены тем, что в ней не учитываются волновые свойства микрочастиц. Учёт и корпускулярных и волновых свойств частиц был осуществлён в квантовой механике.

Согласно квантовой механике для микрочастиц не существует понятие траектории, и потому проследить во всех деталях за их движением невозможно.

Так как движущаяся частица обладает корпускулярно-волновым дуализмом, то одновременное точное определение координаты х и импульса р х невозможно.

Тщательный анализ поведения микроскопических частиц, проведен­ный Гейзенбергом, показал, что существует принципиальный предел точности измерений указанных величин. Если обозначить Δх, Δу, Δz не­точность (неопределенность) определения координаты, а Δр х, Δр у, Δр z - неточность (неопределенность) определений соответствующих проекций импульса, то эти величины между собой связаны зависимостями

ΔхΔр х ≥ ħ, ΔyΔр y ≥ ħ, ΔzΔр z ≥ ħ (26.3)

Эту зависимость называют соотношением неопределенностей Гейзенберга .

Из него следует: чем точнее определена координата (Δх→ 0), тем менее точно определен импульс (Δр х → ∞), и наоборот. Т аким образом, соотношение неопределенностей устанавливает пре­делы, за которыми принципы классической физики становятся неприем­лемыми. Если произведение Δ хΔ р сравнимо с ħ, то поведение частицы описывается законами квантовой механики, если Δ хΔ р велико по сравне­нию с ħ, то поведение частицы описывается законами классической физики.

Из соотношения неопределённостей следует также, что в микромире невозможна локализация частицы в сколь угодно малой области пространства. Другими словами, если бы мы захотели, скажем, поймать и удерживать в каком-либо месте электрон, то у нас бы из этого ничего не вышло.

В самом деле, в процессе сжатия области локализации неопределённость Δх в местоположении частицы будет становиться всё меньше и меньше. Но тогда разброс в возможных значениях её скорости

будет становиться всё больше и больше. Из-за этого будет расти и неопределённость её кинетической энергии. Рано или поздно энергия частицы возрастёт настолько, что эту частицу будет невозможно удержать в одном месте и, преодолев удерживающие её силы, она покинет область локализации. Описанное явление называют туннельным эффектом .

Соотношение, аналогичное (7.21), имеет место для времени и энергии:

ΔЕ Δt > h (26.4)

Рассмотрим это соотношение в применении к возбужденному со­стоянию атома. Если считать Δt средним временем жизни возбужденного состояния атома, а ΔЕ - средней шириной его энергетического уровня (неопределенность энергии состояния), то чем короче время существова­ния какого-либо состояния системы, тем более неопределенно значение его энергии.

При переходе атома из возбужденного в нормальное состояние излучается квант энергии, характеризуемый некоторой частотой размытости Δν = ΔЕ/h спектральной линии излучения, что приводит к уширению спектральных линий.

Гейзенберг и Бор показали, что ни одно измерение не может дать результатов, противоречащих соотношениям неопределенностей. Эти соот­ношения являются одним из фундаментальных положений квантовой механики.

При движении электрона в атоме соотношение неопределенностей вносит существенные изменения в представления о траектории электро­на, т. е. его орбите.

Радиус первой боровской орбиты атома водорода г = 0,5·10 -10 м. Скорость электрона на орбите υ ≈ 10 6 м/с.

Если предположить, что скорость определена с точностью всего 10%, т. е.

Δυ≈ 10 6 м/с, то неопределенность координаты

что почти в 150 раз превышает радиус орбиты.

Таким образом, классическое понятие траектории (орбиты) для элек­трона в атоме теряет смысл.

Для макроскопических тел ограничения, накладываемые соотноше­нием неопределенностей Гейзенберга, совершенно несущественны.

Например, для маленькой капли диаметром 0,1 мм (m= 5·10 -10 кг), движущейся со скоростью υ = 10 м/с, измеренной с точностью до 10%, т. е. при Δр = mΔυ= 5· 10 -10 кг·м/с, неопределенности координаты Δx=10 -24 м, что в 10 20 раз меньше диаметра капли.

Корпускулярно-волновой дуализм влечет за собой важные следствия. Речь идет о возможности одновременного определения координаты микрообъекта и его импульса. Действительно, существует логическое противоречие между свойствами движущегося материального объекта (например, материальной точки), обладающего импульсом р, локализовать в пространстве который можно с любой, сколь угодно высокой точностью, и монохроматической волной де-Бройля (с длиной волны А,), которая по существу простирается от -ос до +оо и, таким образом, полностью делокализована в пространстве. По гипотезе де- Бройля этой же волне сопоставляется импульс, подобный импульсу материального объекта, допускающего абсолютную локализацию в пространстве. Количественное рассмотрение этого противоречия позволило В. Гейзенбергу в 1927 г. сформулировать принцип, который в современном виде звучит так: не существует таких состояний микрообъекта, когда его координата и импульс одновременно принимают определенные, абсолютно точные значения. Если при движении вдоль оси х характеризовать неопределенность координаты и импульса микрообъекта величинами Ах и Ар х, то соотношение Гейзенберга (для координаты и импульса) имеет вид

т.е. неопределенность в координате, умноженная на неопределенность в импульсе (его проекции для одномерного случая), не может быть меньше постоянной Планка И".

Можно привести еще одну интерпретацию соотношения неопределенностей. Известно, что волна только тогда может быть охарактеризована точным значением длины волны X, когда она простирается в пространстве от -оо до +оо. Известно также, что такая волна (как и материальная точка, впрочем) является математической абстракцией. Вместе с тем соответственно этой модели точное значение длины волны X определяет точное значение волнового вектора к и, следовательно, импульса р. Значит, в этом случае неопределенность в импульсе Ар должна быть равна нулю (рис. 8.3, а). При этом мы ничего не сможем сказать о положении частицы, т.е. неопределенность в координате Ах равна бесконечности. Если же мы захотим уменьшить неопределенность в положении частицы и наложим на нее условие, чтобы Лх стала равной конечной величине (рис. 8.3, б), это приведет к тому, что возникнет неопределенность в импульсе, которая станет больше, если мы еще более локализуем (т.е. уменьшим Ах) частицу (рис. 8.3, в).

Рис. 8.3. Иллюстрация соотношения неопределенностей для х и р х: чем точнее локализована частица, тем более неопределен ее импульс

Принцип неопределенности Гейзенберга делает принципиально неприменимыми некоторые положения классической механики. В частности, это касается такого важного понятия как траектория. В качестве примера рассмотрим атом водорода в рамках боровской модели.

Электрон в атоме обращается вокруг протона по круговой орбите. При известных массе и заряде электрона в рамках классической электродинамики можно определить по порядку величины, скорость его движения, она оказывается примерно 10 6 м/с. Тогда по Гейзенбергу (с использованием (8.4)) неопределенность в координате Ах определяется как м, т.е.

Ах по порядку величины совпадает с размером атома. Отсюда следует, что понятие траектории в данном случае (и в квантовой механике вообще) теряет смысл: неопределенность в координате электрона становится больше, чем размер области, в пределах которой он находится! Ясно, что нужны иные, чем в классической механике, подходы к описанию состояния микрообъектов.

Еще одно важное обстоятельство: само соотношение неопределенностей позволяет в некоторых случаях, не решая задачу точно, оценить характер будущего решения. В качестве такого примера рассмотрим состояние частицы, ограниченной в движении в пространстве (т.е. находящейся в потенциальной яме - в силовом поле, потенциальная энергия которого - см. подраздел 1.4.4, в зависимости от координаты напоминает по форме яму) величиной пространственной координаты L.

Зададимся вопросом, может ли в рассматриваемом случае энергия частицы принимать любые значения, в частности, «лечь на дно» (т.е. обладать точным нулевым значением энергии и, соответственно, точно определенным импульсом)? Для решения этой задачи зададимся неопределенностью в импульсе: примем эту неопределенность равной 100%, т.е. положим Ар ~р. Имея в виду связь энергии Е с импульсом, можно записать: р » Ар = 12тЕ. Неопределенность в координате Дх в условиях данной задачи равна ширине ямы L (т.е. Дх-L): мы знаем, что частица находится в потенциальной яме, но не знаем конкретно, в какой ее точке. В результате соотношение неопределенностей выглядит так: ДхДр х > ~]2тЕ L > И, отсюда

Это значит, что получен ответ на поставленные выше вопросы: частица на дно потенциальной ямы «лечь» не может (не может обладать нулевой энергией), а выражение представляет собой наименьшее значение энергии,

которой частица может обладать.

Еще раз подчеркнем, что эти выводы получены исходя только из соотношения неопределенностей, без использования основных атрибутов квантовой механики.

Соотношение неопределенностей распространяется также на энергию Е микрообъекта и время т жизни системы в этом энергетическом состоянии: произведение неопределенности в энергии ДЕ на время жизни системы в этом состоянии т не может быть меньше h

Для основного состояния микрообъекта, который может существовать в этом состоянии бесконечно долго (т -» оо), неопределенность в энергии АЕ стремится к нулю, т.е. энергия основного состояния может быть определена абсолютно точно. Вместе с тем для возбужденных состояний со временем жизни, скажем 10 -8 с (характерные времена жизни в возбужденном состоянии атомных систем), неопределенность в энергии АЕ ~ 10 -34 /10 -8 = 10 -26 Дж а 10 -7 эВ. Это очень малая величина, но в некоторых случаях она играет важную роль в физических процессах. На рисунке 8.4 приведена иллюстрация расширения спектральной линии за счет учета соотношения неопределенностей (для энергии и времени). Ширина линии, задаваемая исключительно уширением энергетического уровня за счет эффекта неопределенностей Гейзенберга (т.е. не подверженная влиянию внешних условий или измерительного прибора), называется естественной шириной спектральной линии.

Рис. 8.4. Иллюстрация принципа неопределенностей для энергии и времени (ДEx > А). Слева изображены два уровня энергии без учета соотношения неопределенностей: оба уровня «бесконечно тонкие» (т -> оо), спектральная линия (внизу) также бесконечно тонка. Учет соотношения неопределенностей для т = const (верхний уровень) приводит к уширению возбужденного уровня, и спектральная линия за этот счет становится уширенной (Г = АЕ = Л/т - естественная ширина спектральной линии)

Соотношение неопределенностей не накладывает никаких ограничений на возможность одновременного существования совершенно точных значений координат и импульсов, относящихся к разным координатным осям. Иными словами, произведения ДуАр х и ДхДр, могут быть равными нулю, т.е. соответствующие значения пар координат и проекций импульсов могут быть определены со сколь угодно малой погрешностью.

Соотношение неопределенностей в форме (8.4) и (8.6) можно рассматривать как аналитическое выражение философского представления о существовании материи в пространстве и во времени. Действительно, если допустить отсутствие пространства (длина Дх равна нулю) и времени (время т равно нулю), то мы получаем абсурдные результаты: импульс и энергия частицы (материального тела) оказываются бесконечными.

• Соотношения (8.4) и далее (8.6) носят оценочный характер и поэтому в правой части неравенства вместо А может стоять или А/2 (что иногда встречается в учебной и научной литературе).

При изучении волновых свойств света, например отражения или преломления, принято считать, что волна частично отражается, частично преломляется. Но при переходе к фотонным представлениям уже нельзя считать, что данный фотон «частично отразился», так как в этом случае изменилась бы частота отраженного света. Приходится говорить о том, что определенная часть фотонов отражается или что фотон имеет определенную вероятность от разиться. В такой трактовке амплитуда отраженного луча (или лучше энергия, пропорциональная квадрату амплитуды) определяется, как уже говорилось выше, вероятностью отражения фотона в данном направлении. Такое же рассмотрение возможно и для частиц вещества: квадрат модуля амплитуды волны де Бройля определяет вероятность нахождения частицы в том или ином месте (сама амплитуда есть функция координат и времени).

Итак, всякой движущейся частице следует сопоставить волновой процесс. Уравнение, описывающее ее движение, будет характеризоваться условиями распространения соответствующей волны де Бройля. Однако при этом решается задача не о положении данной частицы, а лишь о вероятности ее нахождения в некотором месте. Если речь идет о потоке частиц, то там, где вероятность их появления больше, они и окажутся в относительно большем числе; так, при дифракции электронов на щели наибольшая часть их попадет в участки, где вероятность их нахождения наибольшая,- соответствующие направления определяются формулой, характеризующей направления на максимум света:

где β - угол дифракции, Н - ширина щели.

Таким образом выясняется, что мы можем точно описать не характер движения отдельной микрочастицы, а лишь вероятность попадания ее в ту или иную область пространства. Это значит, что мы дошли до предела, за которым наши классические представления о характеристиках движения теряют свою полную определенность, привычную для классической механики. Это принципиальное положение, открытое Гейзенбергом и называемое соотношением неопределенностей, можно пояснить следующим примером. Пусть пучок электронов (рис. 12.2) со скоростью y падает на экран со щелью шириной Δх . При этом возникнет дифракционная картина -часть электронов пройдет через щель, не отклоняясь, часть же будет испытывать дифракцию и отклонится на некоторый угол; большая часть их окажется в пределах угла, определяющего направление на первый дифракционный минимум:

Эти электроны приобретут ранее отсутствовавшую у них составляющую импульса

модуль которой связан с шириной щели таким соотношением:

Отсюда получается:

Более строгое рассмотрение задачи показывает, что полученное уравнение определяет наименьшее значение произведения Δp x Δx, а более точное выражение имеет вид:

Здесь р х и х - импульс и координата, определяемые в одном и том же измерении. Величина Δх определяет неопределенность положения точки, через которую пролетел электрон (мы ведь знаем только лишь, что он прошел через щель). При этом неопределенность Δх принципиально неустранима. Компонента импульса направлена по оси х, так как мы не можем указать, какому из электронов присущ тот или иной импульс Δр х .

Конечно, такие же соотношения, как (12.4), могут быть написаны для других координат:

Согласно (12.4) произведение неопределенностей не может быть ни в каком опыте сделано меньше постоянной Планка h . При этом весьма существенно, что, чем точнее определяется одна из величин, тем менее определенно будет значение другой величины. Так, при уменьшении Δx, т. е. ширины щели, дифракция проявляется более резко, следовательно, растет угол р, а с ним и неопределенность Δ р х .

Для опытов макроскопического масштаба это неравенство, оставаясь в принципе справедливым, уже не имеет значения. Докажем это. Вообразим электронный пучок диаметром d x = 10 -3 м, летящий в вакууме. Этот диаметр определяет неопределенность в задании координаты электрона. Пусть скорость электрона v y = 10 7 м/с. Какова неопределенность в оценке скорости v x ? Согласно (12.3) получаем:

т. е. ничтожно малую величину по сравнению со скоростью v y , поэтому обычно величиной Δv x и пренебрегают. Но при переходе к микромиру положение изменяется. Так, если мы знаем, что электрон находится внутри атома (неопределенность в задании координатыΔх=10 -10 м), то неопределенность в определении скорости составит:

Но это величина того же порядка, какой можно приписать скорости электрона, предполагая, что он движется в атоме по законам классической физики. Поэтому внутри атома" в известной степени теряется определенность понятий координаты и импульса; классическое описание движения оказывается невозможным.

Так как неопределенность в определении скорости тем меньше, чем больше масса, то для более тяжелых частиц неопределенность бывает меньше.

Уравнение (12.4) можно представить в виде:

Так как нам важен лишь порядок величины, то напишем:

Здесь ΔW - неопределенность энергии частицы в некотором состоянии, At - время ее пребывания в данном состоянии (в нашем f примере речь шла о кинетической энергии, однако в действительности результат (12.5) верен и для полной энергии частицы). Таким образом, чем дольше частица пребывает в данном состоянии, тем более определенна ее энергия, и, наоборот, для состояний, существующих малый промежуток времени, энергия определяется с большой неопределенностью,

В случае фотона

и из (12.5) получается неопределенность частоты:

Из этого неравенства следует, что так как все реальные состояния ограничены во времени, то в природе не существует чисто монохроматических процессов (к этому вопросу мы вернемся позже при оценке ширины спектральных линий). Пока же мы отметим, что, например, чем продолжительнее импульс, заполненный высокочастотными колебаниями, тем он монохроматичнее.

В заключение добавим, что соотношение неопределенностей относится к некоторым парам физических величин, но не к любым: так, например, между неопределенностями координаты Δх и импульса Δр у нет закономерных связей. Соотношение неопределенностей, как и представление о волнах де Бройля, является одним из основных положений квантовой механики.

Соотношение неопределенностей характеризует границы применимости классических представлений к микропроцессам. Но его ни в коем случае нельзя толковать как соотношение, определяющее границы нашего познания. Классические представления не являются единственно возможными, хотя они наиболее привычны для нас и необходимы при описании результатов опытов, производимых над микрочастицами при помощи макроскопических приборов.

Мы не можем указать, как именно будет развиваться в дальнейшем познание окружающего нас мира (в частности, микромира), но можно с полной определенностью утверждать, что границ этого развития не существует, что в природе есть еще очень много непознанного, но нет ничего непознаваемого. Этому учит диалектика развития науки, в частности физики.

Гипотеза Де Бройля. Электронная микроскопия. Волновая функция.

Волны де Бройля

В начале XX века картина мира выглядела очень чётко и не представляла вариантов для толкования:

Каких частиц - это отдельный вопрос. Но именно так: или частицы иливолна - и никак иначе! Всё ясно и понятно.

Такая идиллия продолжалась до 1924 года, пока французский физик Луи де Бройль не пришёл к выводу, что волновые свойства присущи абсолютно всем материальным объектам .

(1)

На эту гипотезу де Бройля натолкнуло сходство уравнений, описывающих поведение лучей света методами геометрической оптики, и движение частиц в механике методом уравнений Гамильтона .

Предположение было неожиданным, красивым и многое объясняло, но нужно было его экспериментальное подтверждение, иначе всё так и осталось бы на уровне гипотезы.

Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля в 1927 году получили американские исследователи Дэвидсон и Джермер . Они изучали угловое распределение электронов, рассеивающихся на монокристалле никеля.

Ионизационной камерой 4 , с присоединённым с ней гальванометром 5 , по силе возникающего тока I измерялось число электронов, отражённых от кристалла под углом , равным углу падения, то есть - интенсивность отражённого электронного пучка .

2. Если же угол падения электронного пучка на кристалл менялся , а ускоряющее напряжение Uоставалось неизменным , то интенсивность отражённого пучка имела ярко выраженные максимумы при углах падения, удовлетворяющих условию Вульфа-Брэгга.

Способ нахождения импульса зависит от скорости, которую имеет частица. Если скорость движения частицы во много раз меньше скорости света в вакууме, то импульс (количество движения) определяется привычной формулой.

Выясним, какое выражение (2 или 3) надо использовать для нахождения импульса в данном случае. Для этого сравним энергию электронов в условиях опыта Дэвидсона и Джермера с их энергией покоя.

В проведённых экспериментах ускоряющее напряжение было на уровне 400В . В этом случае энергия электронов не превышала E e = eU = 400 эВ . Энергия же покоя электрона E o = m o c 2 = 0,511 МэВ = 511000 эВ . Следовательно, E e <, электроны являются нерелятивистскими и для нахождения их импульса можно использовать выражение (2).

При разгоне (ускорении) электрона работа сил электрического поля идёт на увеличение его кинетической энергии. Для условий эксперимента получаем

Подстановка числовых значений даёт

Следовательно, при U = 400 В в описываемых экспериментах имеем для электрона значение длины волны де Бройля равное = 6,2 10 -11 м .

Такое же значение для длины волны дал и расчёт по формуле Вульфа-Брэгга, основанной на волновой теории.

Гипотеза Луи де Бройля о наличии у частиц волновых свойств получила своё экспериментальное подтверждение.

Вроде бы можно успокоиться и заняться чем-либо другим. Однако вопрос, поднятый де Бройлем , был слишком фундаментальным и нужны были более наглядные подтверждения. Поэтому экспериментаторы продолжили свою работу.

Следует отметить, что одновременно и независимо от Дэвидсона этими вопросами занимался профессор Абердинского университета Джордж П.Томсон (сын знаменитого Джозефа Джона Томсона , открывшего электрон), который и добился успеха первым.

На рис. 3 приведены первые фотографии с двумя дифракционными картинами при разных напряжениях на катодной трубке. Видно, что увеличение напряжения (левый снимок), приводящее к увеличению энергии электронов, приводит и к более чёткой картине с большим числом колец.

Многократно повторив свои эксперименты с различными образцами фольги, Джордж П.Томсон пришёл к выводу:

Несколько послеДж.П.Томсона аналогичные результаты были получены П.С.Тартаковским , а затем и другими физиками, которые также смогли зафиксировать дифракционные кольца, возникающие при прохождении пучка электронов через тонкие слои металла.

Советский физик Иосив Мандельштам с сотрудниками пошёл ещё дальше, он сумел экспериментально показать, что де Бройлевские волны могут интерферировать между собой.

Затем был показано, что волновые свойства обнаруживают нейтроны, протоны и даже молекулы водорода.

Дифракция электронов (электронография ) применяется сейчас при исследовании структуры поверхности, например, при изучении коррозии, при адсорбции газов на поверхностях.

Дифракция нейтронов (нейтронография ) является мощным средством изучения структур, в особенности органических кристаллов, содержащих водород, что невозможно сделать с использованием рентгеновского излучения.

Появились и новая отрасль науки - электронная оптика , давшая миру новый прибор - электронный микроскоп , без которого в настоящее время немыслимы многие исследования. При ускоряющих напряжениях от 50 до 100кВ разрешающая способность электронных микроскопов приближается к 20 .

Но всё это было позже, а первопроходцы

Соотношение неопределённости Гейзенберга

Доказанное одновременное наличие у микрочастиц и корпускулярных и волновых свойств приводило к невозможности применения к ним законов классической механики.

В макромире можно однозначно определить в любой момент времени импульс и координату движущего тела или материальной точки; можно рассчитать и траекторию их движения.

В микромире из-за наличия волновых свойств одновременные значения координат и скорости (импульса) не существуют: если известна скорость (импульс), то местоположение частицы (её координаты) не имеют определённого значения - понятие длина волны в конкретной точке не имеет смысла . То же самое и наоборот.

Налицо парадокс, который впервые был сформулирован немецким физиком Вернером Гейзенбергом в виде так называемого
принципа неопределённости :

Разделив выражение (4) на массу m частицы, получим другую форму записи принципа неопределённости:

Сказанное выше хорошо иллюстрируется несколькими примерами, с которыми можно познакомиться здесь.

Если выразить p х через энергию ( p х = Е/ v x), то учитывая, что х/ v х = t, получаем соотношение неопределённостей для энергииE и времениt :

(6)

Здесь tпредставляет собой время, в течение которого микрочастица обладает энергией .

Например, атом на самом низком энергетическом уровне может пребывать сколь угодно долго (), поэтому энергия этого состояния вполне определена: Е = 0.

В более высоком энергетическом состояни и атом пребывает очень недолго. Если это время равно t, то энергия атома в этом состоянии может быть определена с точностью до и будет равна . При переходе атома с более высокого уровня на более низкий энергетический уровень с энергией Е" он излучает фотон с энергией

(7)

Таким образом, энергия излучённого фотона может быть известна только с точностью до Е. Величина же Е определяется временем t жизни атома в возбуждённом состоянии.

На основании выражения (7) можно утверждать, что частота излучённого кванта (фотона) имеет неопределённость , равную = Е / h, то есть линии в спектре будут иметь частоту, равную Е / h.

Уравнение Шредингера

В классической механике движение любой материальной точки однозначно описывается уравнением Исаака Ньютона (второй закон Ньютона ), которое в движении вдоль оси ОХ (одномерный случай) имеет вид

	(8)

В квантовой механике необходим учёт волновых свойств частиц. Поэтому вместо формулы (8) должно быть использовано другое уравнение. Такое уравнение в 1926 году было записано Эрнестом Шредингером и носит его имя.

Чтобы уравнение, описывающее движения микрочастицы, учитывало её волновые свойства , это уравнение должно быть волновым . Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, волновое уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных . Независимыми переменными в нём являются координата и время.

В случае электромагнитной волны имеем

Для описания движения микрочастицы введём функцию = (x, y, z, t) , связанную с длиной волны де Бройля (смысл этой функции рассмотрим ниже). В этих обозначениях получим

Возьмём вторую частную производную уравнения (11) по времени, то есть продифференцируем его два раза по t

Поскольку v/ = , то можем записать ( /v) 2 =1/() 2 . Теперь, зная, что длина волны де Бройля = h/(mv), получим

С учётом (14) и (15) из (13) получаем

(17)

Здесь - оператор Лапласа. Применение его к пси-функции даёт - лаплассиан .

В общем случае волновое уравнение является функцией двух видов переменных. Как уже говорилось, уравнение Шредингера в виде (16) и (17) не зависит от времени и записано для стационарного случая, при котором волновая функция не зависит от времени: в уравнении (16) = (x) , а в уравнении (17) = (x, y, z) .

При учёте времени как ещё одной переменной, = (x, y, z, t) и уравнение Шредингера принимает вид

Во-первых , оно справедливо лишь при малых (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростях движения частицы, когда
v<< c.

Во-вторых , уравнение Шредингера не описывает процессы, происходящие с изменением числа взаимодействующих частиц, их рождением или аннигиляцией, и не учитывает внутренних степеней свободы частиц, таких, например, как спин.

Релятивистский вариант этого уравнения (когда v c.) был получен Полем Дираком (здесь мы его не рассматриваем).

Записанные выше (16) и (17) стационарные варианты уравнения Шредингера получаются из временн го уравнения (18) при не учёте фактора времени.

Уравнение Шредингера записано для частицы, движущейся в поле, характеризуемом потенциальной энергией U . При решении этого уравнения надо задать вид потенциального поля и закон изменения U . Из решения этого уравнения следует закон квантования энергии для частиц, совпадающий с правилами, введёнными Бором при разработке теории атома водорода. Однако здесь он получается естественным путём , как результат решения, а не искусственно постулируетс я, как у Бора.

Приведённые в этом разделе рассуждения не претендуют на вывод уравнения Шредингера. По сути, уравнение (18) постулируется, а об его справедливости судят, сравнивая следствия из этого уравнения с результатами экспериментов.

Именно благодаря экспериментальным свидетельствам и можно с уверенностью утверждать, что уравнение Шредингера успешно описывает поведение микрообъектов в нерелятивистском приближении.

Допустим, что имеется столь слабый поток частиц, что сквозь щель проходит один электрон за другим через большой промежуток времени. Уравнение Шредингера не позволяет точно предсказать, в какое именно место экрана попадёт конкретный электрон. Это уравнение даёт только вероятность распределения частиц по экрану после прохождения щели. Однако, если эксперимент продолжать достаточно долго, так, чтобы на экран попало большое количество частиц, возникает обычная дифракционная картина.

Следовательно, теория предсказывает только статистический результат , то есть то, что произойдёт в среднем, за большой промежуток времени.

Волновая функция

Попробуем теперь разобраться, что представляет собой введённая в предыдущем параграфе волновая функция = (x, y, z, t) ,.

Для этого рассмотрим в общем виде плоскую волну, которая распространяется в направлении нормали On (см. рис.4). Колебания в плоскости волнового фронта волны АВ запишем в комплексном виде

= 0 exp(-2 i t),

(19)

где 0 - амплитуда, - частота, t - время. Через некоторое время фронт волны переместится и займёт положение A"B" .